a) Tứ giác $AEMF$ có $\widehat A=\widehat E=\widehat F=90^o$
$\Rightarrow $ tứ giác $AEMF$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Tứ giác $AEMF$ là hình chữ nhật nên $AM=EF$ (1)
Ta xét $\Delta ADM$ và $\Delta CDM$ có:
$AD=CD$ (2 cạnh của hình vuông)
$\widehat{ADM}=\widehat{CDM}=45^o$
$DM$ chung
$\Rightarrow\Delta ADM$=\Delta CDM$ (c.g.c)
$\Rightarrow AM=CM$ (2) (hai cạnh tương ứng)
Từ (1) và (2) suy ra $EF=CM$ (vì cùng $=AM$) (đpcm)
c) Ta có $\Delta DFM$ vuông tại $F$ có $\widehat {FDM}=45^o$ nên $\Delta DFM$ vuông cân tại $F\Rightarrow FD=FM=AE$
Xét $\Delta ADE$ và $\Delta DCF$ có:
$AD=DC$ $\widehat A=\widehat D=90^o$
$AE=DF$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \Delta ADE$ và $\Delta DCF$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{AED}=\widehat{DFC}$ (hai góc tương ứng)
Gọi $CF\cap DE=H$
Trong $\Delta DFH$:
$\widehat{FDH}+\widehat{DFH}=\widehat{FDH}+\widehat{AED}=90^o$ $\Rightarrow \widehat{FHD}=90^o$
$\Rightarrow CF\bot DE$ (đpcm) (*)
d) Gọi $FO\cap EC=G$
Chứng minh $FO\bot EC$ thật vậy:
Xét $\Delta ABF$ và $\Delta BCE$ có:
$AB=EB$
$\widehat A=\widehat B=90^o$
$AF=EC$ (vì cùng $=EM$, $\Delta EMB$ vuông cân đỉnh $E$)
$\Rightarrow \Delta ABF=\Delta BCE$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{ABF}=\widehat{BCE}$
Mà $\Delta BCG$ có:
$\widehat{BCG}+\widehat{CBG}=\widehat{ABG}+\widehat{CBG}=90^o$
$\Rightarrow\widehat{BGC}=90^o\Rightarrow BG\bot EC$ hay $FO\bot EC$ (**)
Từ (*) và (**) ta có $\Delta EFC$ có hai đường cao $EH$ và $FO$ cắt nhau tại $O$ nên $O$ là trực tâm của tam giác
$\Rightarrow CO\bot EF$ (***)
Dựng $MF\bot BC$
Xét $\Delta AEF$ và $\Delta NCM$ có:
$AE=MN=EM$
$EF=MC$
$\widehat A=\widehat N=90^o$
$\Rightarrow \Delta AEF=\Delta NCM$ (ch-cgv)
$\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{NCM}$
$\Delta IJE$ có $\widehat{EJI}+\widehat{JEI}=\widehat{EJI}+\widehat{NCM}=90^o $
$\Rightarrow \widehat{JIE}=90^o$
$\Rightarrow CM\bot EF$ (****)
Từ (***) và (****) suy ra $CM\parallel CO\Rightarrow C,M,O$ thẳng hàng (đpcm).
