`a)` Xét tứ giác $AEMF$ có:
`\hat{FAE}=\hat{AFM}=\hat{AEM}=90°`
`=>AEMF` là hình chữ nhật
`=>AE=FM; AF=EM`
$\\$
Xét tứ giác $DFMR$ có:
`\hat{FDR}=\hat{DFM}=\hat{FMR}=90°`
`=> DFMR` là hình chữ nhật
$DB$ là đường chéo hình vuông $ABCD$
`=>DB` là phân giác `\hat{ADC}`
`=>DM` là phân giác `\hat{FDR}`
`=>DFMR` là hình vuông (hình chữ nhật có đường chéo là phân giác của một góc)
`=>DF=FM=MR=DR`
$\\$
Xét $∆DAE$ và $∆CDF$ có:
`\qquad AE=DF(=FM)` (c/m trên)
`\qquad \hat{DAE}=\hat{CDF}=90°`
`\qquad AD=DC` ($ABCD$ là hình vuông)
`=>∆DAE=∆CDF` (c-g-c)
`=>\hat{ADE}=\hat{DCF}`
`=>\hat{FDQ}=\hat{DCF}`
$\\$
Ta có: `\hat{DFQ}+\hat{FDQ}`
`=\hat{DFC}+\hat{DCF}=90°` (do $∆DCF$ vuông tại $D$)
`=>∆DFQ` vuông tại $Q$
`=>EQ`$\perp CF$ tại $Q$ $(1)$
$\\$
Gọi $H$ là giao điểm của $FM$ và $BC$
Chứng minh tương tự được $BEMH$ là hình vuông và $CHMR$ là hình chữ nhật
`=>BE=EM=MH=BH`
`\qquad CH=MR=MF`
$\\$
Xét $∆EFM$ và $∆MCH$ có:
`\qquad EM=MH`
`\qquad \hat{EMF}=\hat{MHC}=90°`
`\qquad MF=HC`
`=>∆EFM=∆MCH` (c-g-c)
`=>\hat{FEM}=\hat{CMH}`
`=>\hat{PEM}=\hat{CMH}`
Ta có:
`\qquad \hat{PEM}+\hat{EMP}`
`=\hat{CMH}+\hat{EMP}=180°-\hat{EMH}`
`=180°-90°=90°`
`=>∆EPM` vuông tại $P$
`=>CP`$\perp EF$ tại $P$ $(2)$
$\\$
Gọi $K$ là giao điểm của $EC$ và $BF$
Xét $∆EBC$ và $∆FAB$ có:
`\qquad BC=AB` ($ABCD$ là hình vuông)
`\qquad \hat{EBC}=\hat{FAB}=90°`
`\qquad EB=FA(=EM)`
`=>∆EBC=∆FAB` (c-g-c)
`=>\hat{BEC}=\hat{AFB}`
`=>\hat{BEK}=\hat{AFB}`
Ta có:
`\qquad \hat{BEK}+\hat{EBK}`
`=\hat{AFB}+\hat{ABF}=90°` (do $∆ABF$ vuông tại $A$)
`=>∆EBK` vuông tại $K$
`=>FK`$\perp EC$ tại $K$ $(3)$
$\\$
Từ `(1);(2);(3)=>FK;CP;EQ` là ba đường cao của $∆EFC$
`=>FK;CP;EQ` đồng quy
`=>3` đường thẳng `BF;CM;DE` đồng quy
$\\$
`b)` Gọi $I$ là trung điểm $EC$
`=>PI; BI; RI; QI` lần lượt là trung tuyến của các tam giác vuông:
$\qquad ∆EPC; ∆BEC; ∆REC;∆QEC$
`=>PI=EI=BI=CI=1/ 2 EC=RI=QI`
`=>P,E,B,C,R,Q` cùng thuộc $1$ đường tròn tâm $I$ đường kính $EC$
