Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a, Tứ giác ABCD là hình vuông ⇒ $\left \{ {{AB = BC = CD = AD} \atop {\widehat{ABC} = \widehat{BCD} = \widehat{ADC} = \widehat{BAD} = 90^{o}  }} \right.$  

Theo bài ra, ta có:    AR ⊥ PQ ⇒ ΔAQR và ΔAPS vuông tại A

Ta lại có: 

⊕ $\widehat{QAD}$ + $\widehat{DAS}$ = $90^{o}$  mà $\widehat{DAS}$ + $\widehat{RAB}$ = $90^{o}$ ⇒ $\widehat{QAD}$ = $\widehat{RAB}$

⊕ $\widehat{BAP}$ + $\widehat{RAB}$ = $90^{o}$ mà $\widehat{DAS}$ + $\widehat{RAB}$ = $90^{o}$  ⇒ $\widehat{BAP}$ = $\widehat{DAS}$

    Xét 2 Δ vuông: Δ ADQ và ΔABR có:   AD = AB          ;   $\widehat{QAD}$ = $\widehat{RAB}$ (cmt)

              ⇒  Δ ADQ = ΔABR (c.g.v-gn) ⇒ AQ = AR ⇒ ΔAQR vuông cân tại A ( đpcm)

   Xét 2 Δ vuông: Δ ABP và ΔADS có:   AB = AD          ;   $\widehat{BAP}$ = $\widehat{DAS}$ (cmt)

              ⇒  Δ ABP = ΔADS (c.g.v-gn) ⇒ AP = AS ⇒ ΔAPS vuông cân tại A ( đpcm)

b, ΔAQR vuông cân tại A (câu a) có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền QR 

      ⇒ AM cũng là đường cao của ΔAQR và cũng là phân giác của $\widehat{QAR}$

      ⇒  AM ⊥ QR và $\widehat{QAM}$ = $\widehat{MAR}$ = $\frac{QAR}{2}$

      ⇒  $\widehat{AMH}$ = $90^{o}$ và $\widehat{QAM}$ = $\widehat{MAR}$ = $45^{o}$

ΔAPS vuông cân tại A (câu a) có AN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền PS 

      ⇒ AN cũng là đường cao của ΔAPS và cũng là phân giác của $\widehat{PAS}$

      ⇒  AN ⊥ PS và $\widehat{SAN}$ = $\widehat{PAN}$ = $\frac{PAS}{2}$

      ⇒  $\widehat{ANH}$ = $90^{o}$ và $\widehat{SAN}$ = $\widehat{PAN}$ = $45^{o}$

   Ta có: $\widehat{MAR}$ + $\widehat{SAN}$ = $\widehat{MAN}$  mà $\widehat{MAR}$ = $\widehat{SAN}$ = $45^{o}$(cmt)  ⇒ $\widehat{MAN}$ = $90^{o}$

  Tứ giác  AMHN có: $\widehat{AMH}$ = $\widehat{ANH}$ = $\widehat{MAN}$ = $90^{o}$ (cmt)

                  ⇒  Tứ giác  AMHN là hình chữ nhật (đpcm)

c, ΔSQR có: QA ⊥ SR ;  RC ⊥ QS ;  QA và RC cắt nhau tại P 

          ⇒ P là trực tâm của ΔSQR(đpcm)

d,

ΔAQR vuông cân tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền QR

⇒ AM = $\frac{QR}{2}$ 

ΔQRC vuông cân tại C có CM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền QR

⇒ CM = $\frac{QR}{2}$

                            ⇒  AM = CM ⇒ M cách đều AC (1)

ΔAPS vuông cân tại A có AN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền PS

⇒ AN = $\frac{PS}{2}$ 

ΔSCP vuông cân tại C có CN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền PS

⇒ CN = $\frac{PS}{2}$

                            ⇒  AN = CN ⇒ N cách đều AC (2)

     Từ (1) và (2) ⇒ MN là đường trung trực của AC (đpcm)

e, Vì ABCD là hình vuông ⇒   B và D cũng cách đều AC mà theo (1) và (2)

                   ⇒ M,B,N,D thẳng hàng (đpcm) 

f, Ta có: Δ ADQ = ΔABR (chứng minh ở câu a) ⇒ QD = BR (đpcm)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a)+)Có ΔARQ vuông tại A với đương trung tuyến AM
=>AM=MQ=MR
=>ΔAMR cân tại M và ΔAMQ cân tại M
=>MARˆ=MRAˆ và MAQˆ=MQAˆ
Mà MRAˆ+MQAˆ=90o
MARˆ=MRAˆ=​​MAQˆ=MQAˆ=45o
=>AMQˆ=AMRˆ=90o
Xét ΔAMQ và ΔAMR, có:
MQ=MR
AMQˆ=AMRˆ=90o
AM chung
=>ΔAMQ=ΔAMR (c.g.c)
=>AQ=AR
=>Tam giác AQR cân tại A
+)Chưng minh tương tự với 2 tam giác ANS=ANP
ta đc AS=AP
=>Tam giác APS cân tại A
b)+)Có PANˆ+PAMˆ=BANˆ
Thay số: 45o+45o=MANˆ
=>MANˆ=90o

+)Có tam giác APS cân tại A và đương trung tuyến AN
=>AN là đương cao ứng với PS
=>ANPˆ=90o

hay ANHˆ=90o
+)Có tam giác AQR cân tại A và đương trung tuyến AM
=>AM là đường cao ứng với QR
=>AMQˆ=90o hay AMHˆ=90o
+)Xét tứ giác AMHN, có:
MANˆ=ANPˆ=AMQˆ=90o
=> AMHN là hình chữ nhật
c)Xét tam giác SPR, có:
RH⊥SP (hình chữ nhật AMHN)
AP⊥RS
AP∩RH={Q}
=>Q là trực tâm của tam giác SPR
d)+)Có Q là trực tâm của tam giác SPR
=>SC⊥RP
hayQC⊥RC
=>Tam giác RQC vuông tại C
Mà MC là đương trung tuyến
=>MC=MQ
Mà AM=MQ
=>AM=MC(1)
+)Chưng minh tương tự với 2 tam giác APS và PSC
=>AN=NC(2)
Từ (1) và (2)=>MN là đường trung trực của AC
e)Có ABCD là hình vuông
=>AB=BC và AD=CD
=>BD là đương trung trực của AC
Mà AM là đường trung trực của AC (chứng minh câu d)
=>Bốn điểm B, M, D, N thẳng hàng