Giải thích các bước giải:
Đặt $AB=BC=CD=DA=a$
Ta có $BM=\dfrac{BC}{3}\to CM=\dfrac23BC$
Gọi $AM\cap CD=E$
$\to\dfrac{MA}{ME}=\dfrac{AB}{CE}=\dfrac{MB}{MC} =\dfrac12$
$\to ME=2MA, CE=2AB\to ED=3AB=3a, EA=3MA=3\sqrt{AB^2+BM^2}=3\sqrt{a^2+(\dfrac13a)^2}=\sqrt{10}a$
Lại có $CN=\dfrac12CD=\dfrac12a\to EN=EC-CN=2a-\dfrac12a=\dfrac32a$
Ta có $AB//EN$
$\to\dfrac{IB}{IN}=\dfrac{IA}{IE}=\dfrac{AB}{NE}=\dfrac{a}{\dfrac32a}=\dfrac23$
$\to \dfrac{IA+IE}{IE}=\dfrac{2+3}{3}$
$\to\dfrac{EA}{EI}=\dfrac53$
$\to IE=\dfrac35EA=\dfrac35\cdot \sqrt{10}a$
$\to EI\cdot EA=\dfrac35\cdot \sqrt{10}a\cdot \sqrt{10}a=6a^2$
$EC\cdot ED=2a\cdot 3a=6a^2$
$\to EI\cdot EA=EC\cdot ED$
$\to \dfrac{EI}{ED}=\dfrac{EC}{EA}$
Mà $\widehat{IEC}=\widehat{AED}$
$\to\Delta EIC\sim\Delta EDA(c.g.c)$
$\to \widehat{CIE}=\widehat{ADE}=90^o$
$\to \widehat{AIC}=90^o$
Gọi $AB\cap CD=O\to OA=OB=OC=OD$
Mà $O$ là trung điểm $AC, \Delta IAC$ vuông tại $I$
$\to OI=OA=OC$
$\to A,B,C,D,I\in (O,OA)$
