Đáp án:
\[m = - 1\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + \left( {m - 1} \right)y = 2\\
\left( {m + 1} \right)x - y = m + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m + 1} \right)x + \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)y = 2\left( {m + 1} \right)\\
\left( {m + 1} \right)x - y = m + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m + 1} \right)x + \left( {{m^2} - 1} \right)y = 2\left( {m + 1} \right)\\
\left( {m + 1} \right)x - y = m + 1
\end{array} \right.\\
\left[ {\left( {m + 1} \right)x + \left( {{m^2} - 1} \right)y} \right] - \left[ {\left( {m + 1} \right)x - y} \right] = 2\left( {m + 1} \right) - \left( {m + 1} \right)\\
\Leftrightarrow {m^2}y = m + 1\\
\Rightarrow y = \frac{{m + 1}}{{{m^2}}}\,\,\,\,\,\left( {m \ne 0} \right)\\
\left( {m + 1} \right)x - y = m + 1\\
\Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)x - \frac{{m + 1}}{{{m^2}}} = m + 1\\
\Leftrightarrow x - \frac{1}{{{m^2}}} = 1\\
\Leftrightarrow x = \frac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}}\\
t = x - 2y = \frac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}} - 2.\frac{{m + 1}}{{{m^2}}} = \frac{{{m^2} - 2m - 1}}{{{m^2}}}\\
\Leftrightarrow {m^2} - 2m - 1 = t.{m^2}\\
\Leftrightarrow \left( {1 - t} \right){m^2} - 2m - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array}\)
Để tồn tại giá trị của m thì pt(1) phải có nghiệm m
Suy ra
\(\begin{array}{l}
Δ' \ge 0\\
\Leftrightarrow 1 - \left( {1 - t} \right).\left( { - 1} \right) \ge 0\\
1 + 1 - t \ge 0\\
\Leftrightarrow t \le 2
\end{array}\)
Vậy x-2y lớn nhất bằng 2, khi đó:
\(\begin{array}{l}
\frac{{{m^2} - 2m - 1}}{{{m^2}}} = 2\\
\Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = - 1
\end{array}\)
