Đáp án:
$\cos\widehat{(AC;SB)} = \dfrac{a\sqrt2}{4}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $O = AC\cap BD$
$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = \dfrac{a\sqrt2}{2}$
Gọi $I$ là trung điểm $SD$
$\Rightarrow OI$ là đường trung bình của $ΔSBD$
$\Rightarrow OI // SB; \,OI = \dfrac{1}{2}SB$
$\Rightarrow \widehat{(AC;SB)} = \widehat{(AC;OI)} = \widehat{AOI}$
Ta cũng có: $AI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $SD$
$\Rightarrow AI = \dfrac{1}{2}SD$
Ta lại có: $SA \perp (ABCD)$
$AB = AD = a$
$\Rightarrow SB = SD$
$\Rightarrow OI = AI$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$SB^2 = SA^2 + AB^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2$
$\Rightarrow SB = 2a$
$\Rightarrow OI = AI = \dfrac{1}{2}SB = a$
Áp dụng định lý $\cos$ ta được:
$AI^2 = OI^2 + OA^2 - 2OI.OA.\cos\widehat{AOI}$
$\Rightarrow \cos\widehat{AOI} = \dfrac{OI^2 + OA^2 - AI^2}{2OI.OA} = \dfrac{OA}{2OI} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt2}{2}}{2.a} = \dfrac{a\sqrt2}{4}$
