Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:
Ta có \(A'B \bot \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow \left( {AA';\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle A'AB = {45^0}\).
Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên \(BB'\) và \(DD'\).
\( \Rightarrow A'H = A'K = 1\) và \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot A'H\\AA' \bot A'K\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AA' \bot \left( {A'HK} \right)\).
Xét hình bình hành \(ABB'A'\) có \(\left\{ \begin{array}{l}A'B \bot AB\\\angle A'AB = {45^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta A'AB\), \(\Delta A'B'B\) vuông cân tại \(B\) và \(A'\).
Do đó \(H\) là trung điểm của \(BB'\) \( \Rightarrow A'H = \dfrac{1}{2}BB' \Rightarrow BB' = 2A'H = 2\).
Xét \(\Delta AA'B\) vuông cân tại \(B \Rightarrow A'B = \dfrac{{AA'}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \).
Do \(ABCD,\,\,A'B'C'D'\) là hình hộp nên \(\angle \left( {\left( {BCC'B'} \right);\left( {C'CDD'} \right)} \right) = \angle \left( {\left( {ABB'A'} \right);\left( {ADD'A'} \right)} \right)\).
Mà \(\angle \left( {\left( {ABB'A'} \right);\left( {ADD'A'} \right)} \right) = \angle \left( {A'H;A'K} \right) = {60^0}\).
Do đó \(\angle HA'K = {60^0}\) hoặc \(\angle HA'K = {120^0}\).
Ta có \({S_{\Delta A'HK}} = \dfrac{1}{2}A'H.A'K.\sin \angle A'HK = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\).
Mặt khác \(\Delta A'HK\) là hình chiếu vuông góc của \(\Delta A'B'D'\) nên \({S_{\Delta A'HK}} = {S_{\Delta A'B'D'}}.\cos {45^0} \Rightarrow {S_{\Delta A'B'D'}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}\).
Suy ra \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = 2{V_{ABD.A'B'D'}} = 2A'B.{S_{\Delta A'B'D'}} = 2\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 6 }}{4} = \sqrt 3 \).
Chọn A