Cho khối hộp chữ nhật ABCDABCD có đáy là hình vuông BD A.\(\dfrac{{16\sqrt 3 }}{9}{a^3}\) B.\(48\sqrt 3 {a^3}\) C.\(\dfrac{{16\sqrt 3 }}{3}{a^3}\) D.\(16\sqrt 3 {a^3}\)
Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).Sử dụng lượng giác trong tam giác vuông để tính chiều cao của khối hộp chữ nhật.Tính thể tích khối hộp \(V = {S_d}.h\)Giải chi tiết:Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD.\)Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AO \bot BD\\AA' \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow A'O \bot BD \Rightarrow \alpha = \left( {AO;A'O} \right) = \angle AOA' = {30^o}\)Đáy \(ABCD\) là hình vuông có \(BD = 4a \Rightarrow AB = AD = 2a\sqrt 2 \)Ta có: \(AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}BD = 2a.\)Trong \(\Delta AOA'\) có \(AA' = AO.\tan {30^o} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) Vậy thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) là: \(V = 8{a^2}.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{16{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)Chọn C