Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x\ge max\left\{y,z\right\}\end{matrix}\right.\). Tìm Min của: \(M=\dfrac{x}{y}+2\sqrt{1+\dfrac{y}{z}}+3\sqrt[3]{1+\dfrac{z}{x}}\) P/s: Đề trc bị sai nhé!

lenhi066

5 năm trước

Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x\ge max\left\{y,z\right\}\end{matrix}\right.\). Tìm Min của:

\(M=\dfrac{x}{y}+2\sqrt{1+\dfrac{y}{z}}+3\sqrt[3]{1+\dfrac{z}{x}}\)

P/s: Đề trc bị sai nhé!

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 280 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

luanmaithanh33

Áp dụng bđt AM-GM có:

\(1+\dfrac{y}{z}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{z}};1+\dfrac{z}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{z}{x}}\)

Dễ dàng suy ra: \(M\ge\dfrac{x}{y}+2\sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{\dfrac{y}{z}}+3\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[6]{\dfrac{z}{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{x}{y}+4\sqrt[4]{\dfrac{y}{z}}+6\sqrt[6]{\dfrac{z}{x}}\right)+\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot\dfrac{x}{y}+\left(3\sqrt[3]{2}-3\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{\dfrac{z}{x}}\)

Theo AM-GM có: \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{x}{y}+4\sqrt[4]{\dfrac{y}{z}}+6\sqrt[6]{\dfrac{z}{x}}\right)\ge\dfrac{1}{2}\cdot11\sqrt[11]{\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{y}{z}\cdot\dfrac{z}{x}}=\dfrac{11}{\sqrt{2}}\) (1)

Theo đề: \(x\ge max\left\{y,z\right\}\) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}\ge1\\\dfrac{z}{x}\le1\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot\dfrac{x}{y}\ge1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(2\right)\\\left(3\sqrt[3]{2}-3\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt[6]{\dfrac{z}{x}}\ge3\sqrt[3]{2}-3\sqrt{2}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế bđt (1), (2) ,(3) có:\(A\ge\dfrac{11}{\sqrt{2}}+1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+3\sqrt[3]{2}-3\sqrt{2}=1+2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{2}\)

Xảy ra khi \(x=y=z\)

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho m và n là 2 số bất kỳ.

Chứng minh rằng : \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)

Giúp mình bài này với ạ !

1.lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sau:

a, y=-2

b, x=3

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O, tìm các véctơ có điểm đầu và điểm cuối lad 2 trong 5 véctơ A,B,C,Đ,O. Sao cho: a. Bằng véctơ OB, c. Độ dài bằng véctơ OB. B cùng phương với véctơ AB

Cho hàm số y=f(x)=5/x-1

A) tìm các giá trị của x sao cho vế phải của công thức có nghĩa.

B) tính f (-2); f (0); f (2); f (1/3)

C) tìm giá trị của x để y=-1; y=1; y=1/5

D) xác Định các điểm a (-2;-5/3), b (0;5), c (2;5), d (61) trên cùng một hệ trục tọa độ

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=\(\dfrac{\sqrt{x-2m+3}}{x-m}\)+\(\dfrac{3x-1}{\sqrt{-x+m+5}}\)xác định trên khoảng(0;1)?

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M=\(\dfrac{2x+1}{x^2+2}\)

Cho a,b,c > 0 và a+ b + c \(\le\dfrac{3}{2}\). Tìm Min của \(E=a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

@Phùng Khánh Linh @Akai Haruma -.. giúp với

Cho △ABC có 3 trung tuyến là AI, BJ, CK

a) chứng minh AI→ + BJ→+ CK →=0→

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1

CM: \(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{21}\)

cho △ABC có trung tuyến AM, D là trung điểm AM, O là một điểm tùy ý. chứng minh rằng :

a) 2DA→ + DB →+ DC →= 0→

b) 2OA →+ OB→ + OC→ = 4OD→

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến