ĐK: $x\ge 0$
$M=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\sqrt{x}-3+3}{\sqrt{x}-3}= 1+\dfrac{3}{\sqrt{x}-3}\in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow 3\vdots \sqrt{x}-3$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}-3\in \{ \pm 1; \pm 3\}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}\in \{ 4; 2; 6; 0\}$
$\Leftrightarrow x\in \{ 16; 4; 36; 0\}$