Vẽ hình bình hành $APMN$
`=>MN=PA; MN` //$PA$; `MP=NA;MP`//$NA$
Vẽ $AH;BK$ lần lượt $\perp PC$ tại $H;K$
Vì $MN$//$PA$
`=>\hat{BMK}=\hat{APH}` (hai góc so le trong)
Xét $∆AHP$ và $∆BKM$ có:
`\qquad \hat{AHP}= \hat{BKM}=90°`
`\qquad \hat{APH}=\hat{BMK}`
`=>∆AHP∽∆BKM` (g-g)
`=>{PA}/{MB}={AH}/{BK}`
$\\$
Ta có: `{MN}/{MB}={PA}/{MB}={AH}/{BK}`
`={1/ 2 AH.MC}/{1/2 BK.MC}={S_{∆MAC}}/{S_{∆MBC}}`
`=>MN=MB. {S_{∆MAC}}/{S_{∆MBC}}`
`=>\vec{MN}=-\vec{MB}. {S_{∆MAC}}/{S_{∆MBC}}`
$\\$
Vẽ $AF;CG$ lần lượt $\perp BN$ tại $F;G$
Tương tự c/m được: `{MP}/{MC}={NA}/{MC}={AF}/{CG}`
`={1/ 2 AF.MB}/{1/2 CG.MB}={S_{∆MAB}}/{S_{∆MBC}}`
`=>MP=MC.{S_{∆MAB}}/{S_{∆MBC}}`
`=>\vec{MP}=-\vec{MC}. {S_{∆MAB}}/{S_{∆MBC}}`
$\\$
Áp dụng quy tắc hình bình hành
`=>\vec{MP}+\vec{MN}=\vec{MA}`
`=>-\vec{MC}. {S_{∆MAB}}/{S_{∆MBC}}-\vec{MB}. {S_{∆MAC}}/{S_{∆MBC}}=\vec{MA}`
`=>\vec{MA}=-1/{S_{∆MBC}}.(S_{∆MAC}.\vec{MB}+S_{∆MAB}.\vec{MC})`
`=>S_{∆MBC}.\vec{MA}=-(S_{MAC}.\vec{MB}+S_{∆MAB}.\vec{MC})`
`=>S_{∆MBC}.\vec{MA}+S_{∆MAC}.\vec{MB}+S_{∆MAB}.\vec{MC}=\vec{0}` (đpcm)
