Mặt khác $3m^2-3n^2+m-n=m^2$
$⇔3.(m-n)(m+n)+m-n=m^2$
$⇔(m-n)(3m+3n+1)=m^2$
Nhân cả 2 pt vào với nhau ta được:
$(m-n)^2.(2m+2n+1).(3m+3n+1)=(mn)^2$
Xét $(m-n)^2=0⇔m=n⇒2m^2+m=3m^2+m⇔m=0⇒n=0⇒2m+2n+1=1$ (đúng)
Xét $(m-n)^2 \neq 0$ do $(m-n)^2;(mn)^2$ là các số chính phương $∀m;n∈N$
$⇒(2m+2n+1).(3m+3n+1)$ là số chính phương
Gọi $ƯCLN(2m+2n+1;3m+3n+1)=d$
$⇒\begin{cases}2m+2n+1 \vdots d\\3m+3n+1\vdots d \end{cases}$
$⇔\begin{cases}3.(2m+2n+1) \vdots d\\2.(3m+3n+1)\vdots d \end{cases}$
$⇔\begin{cases}6m+6n+3 \vdots d\\6m+6n+2\vdots d \end{cases}$
$⇒6m+6n+3-6m-6n-2=1 \vdots d⇒d=1$
Nên $ƯCLN(2m+2n+1;3m+3n+1)=1$
$(2m+2n+1).(3m+3n+1)$ là số chính phương
$⇒(2m+2n+1); (3m+3n+1)$ là số chính phương
(đpcm)
