$M=xyz+yzx+zxy$
$M=100x+10y+z+100y+10z+x+100z+10x+y$
$M=(100x+10x+x)+(100y+10y+y)+(100z+10z+z)$
$M=111x+111y+111z$
$M=111(x+y+z)$
$M=3.37(x+y+z)$
Vì $x,y,z$ là số tự nhiên có 1 chữ số nên $0\leq x,y,z\leq27$
⇒$x,y,z$`\cancel{vdots}`$37$
Mà $(3;37)=1$ nên $3(x,y,z)$`vdots`$37$
⇒$M$ không là số chính phương