Đáp án:
\(A = \left(\matrix{2&1&2\\ -1&-1&-2\\1&1&1}\right)\left(\matrix{-1&0&0\\0&1&0\\0&0&m}\right)\left(\matrix{1&1&0\\ -1&0&2\\0&-1&-1}\right)\)
\(A^{10} = \left(\matrix{1&-2m^{10} +2&-2m^{10}+2\\ 0&2m^{10}-1&m^{10}-2\\0&-m^{10}+1&-m^{10}+2}\right)\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\quad A =\left(\matrix{-3&-2m-2&2-2m\\ 2&2m+1&2m-2\\ -2&-m-1&2-m}\right)\\
a)\quad \text{Chéo hóa ma trận}\\
\text{Phương trình đặc trưng}\ P(\lambda) = 0\\
\Leftrightarrow \left|\matrix{-3-\lambda&-2m-2&2-2m\\ 2&2m+1-\lambda&2m-2\\ -2&-m-1&2-m - \lambda}\right| = 0\\
\Leftrightarrow -\lambda^3 + m\lambda^2 + \lambda - m =0\\
\Leftrightarrow (\lambda - 1)(\lambda + 1)(\lambda - m) = 0\\
+)\quad \text{Với $\lambda =- 1$ ta được hệ phương trình riêng}\\
\left(\matrix{-2&-2m-2&2-2m\\ 2&2m+2&2m-2\\ -2&-m-1&3-m}\right)\left(\matrix{x\\y\\z}\right) = \left(\matrix{0\\0\\0}\right)\\
\text{Giải hệ ta được:}\ VTR\ \ \overrightarrow{u_1} = (2;-1;1)\\
+)\quad \text{Với $\lambda = 1$ ta được hệ phương trình riêng}\\
\left(\matrix{-4&-2m-2&2-2m\\ 2&2m&2m-2\\ -2&-m-1&1-m}\right)\left(\matrix{x\\y\\z}\right) = \left(\matrix{0\\0\\0}\right)\\
\text{Giải hệ ta được:}\ VTR\ \ \overrightarrow{u_2} = (1;-1;1)\\
+)\quad \text{Với $\lambda = m$ ta được hệ phương trình riêng}\\
\left(\matrix{-3-m&-2m-2&2-2m\\ 2&m+1&2m-2\\ -2&-m-1&2-2m}\right)\left(\matrix{x\\y\\z}\right) = \left(\matrix{0\\0\\0}\right)\\
\text{Giải hệ ta được:}\ VTR\ \ \overrightarrow{u_3} = (2;-2;1)\\
\text{Ma trận các VTR:}\\
\qquad T = \left(\matrix{2&1&2\\ -1&-1&-2\\1&1&1}\right)\\
\Rightarrow T^{-1} = \left(\matrix{1&1&0\\ -1&0&2\\0&-1&-1}\right)\\
\text{Ma trận chéo hóa của ma trận $A$}\\
\quad B = \left(\matrix{-1&0&0\\0&1&0\\0&0&m}\right)\\
\text{Ta được:}\\
A = \left(\matrix{2&1&2\\ -1&-1&-2\\1&1&1}\right)\left(\matrix{-1&0&0\\0&1&0\\0&0&m}\right)\left(\matrix{1&1&0\\ -1&0&2\\0&-1&-1}\right)\\
b)\\
\quad A^{10} = T.B^{10}.T^{-1}\\
\Leftrightarrow A^{10} = \left(\matrix{2&1&2\\ -1&-1&-2\\1&1&1}\right)\left(\matrix{1&0&0\\0&1&0\\0&0&m^{10}}\right)\left(\matrix{1&1&0\\ -1&0&2\\0&-1&-1}\right)\\
\Leftrightarrow A^{10} = \left(\matrix{2&1&2m^{10}\\ -1&-1&-2m^{10}\\1&1&m^{10}}\right)\left(\matrix{1&1&0\\ -1&0&2\\0&-1&-1}\right)\\
\Leftrightarrow A^{10} = \left(\matrix{1&-2m^{10} +2&-2m^{10}+2\\ 0&2m^{10}-1&m^{10}-2\\0&-m^{10}+1&-m^{10}+2}\right)
\end{array}\)
