Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Tìm toạ độ tâm \(I\) và tính bán kính \(r\) của mặt cầu \((S)\)
Tâm \(I\) của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\): \(I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right) = \left( {1;1;1} \right)\)
\(A{B^2} = {\rm{ }}{\left( { - 4{\rm{ }} - {\rm{ }}6} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {{\rm{ }}0{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {7{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)^2} = {\rm{ }}248\)
\( \Rightarrow AB = \sqrt {248} = 2\sqrt {62} \)
Vậy \(R = {{AB} \over 2} = \sqrt {62} \)
b) Lập phương trình của mặt cầu \((S)\).
Phương trình mặt cầu \((S)\)
\({\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^{2}} = {\rm{ }}62\)
\( \Leftrightarrow \) \({x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} - {\rm{ }}2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}2z{\rm{ }} - {\rm{ }}59{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
c) Lập phương trình của mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) tại điểm \(A\).
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \(A\) chính là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với bán kính \(IA\). Ta có:
\(\overrightarrow {IA} = (5; 1 ; -6)\)
Phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(5(x - 6) + 1(y - 2) - 6(z + 5) = 0\)
\( \Leftrightarrow 5x + y - 6z - 62 = 0\)
