1) Xét 2 tam giác vuông BMH và CNH có:
$\widehat{BHM}=\widehat{CHN}$ (đối đỉnh)
Suy ra ΔBMH đồng dạng ΔCNH ( g-g)
⇒$\frac{HM}{HN}=$ $\frac{HB}{HC}$
⇔$HM.HC=HN.HB$
2) Gọi I là trung điểm của AH
Xét Δ vuông AHM có: MI=IA=IH=1/2AH (trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
Xét Δ vuông AHN có: NI=IA=IH=1/2AH (trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
⇒IM=IN=IA=IH
⇒AMHN nội tiếp đường tròn tâm I, bán kính IA
Hay AMHN nội tiếp đường tròn đường kính AH
3) Kéo dài AH cắt BC tại K
ΔABC có 2 đường cao CM và BN cắt nhau tại H⇒AH⊥BC hay AK⊥BC
Ta có: $\widehat{IMA}=\widehat{IAM}$
$\widehat{OMB}=\widehat{OBM}$
⇒$\widehat{IMA}+\widehat{OMB}=\widehat{IAM}+\widehat{OBM}=90^o$
⇒$\widehat{OMI}=90^o$
⇒OM⊥MI
MI là bán kính của đường tròn đường kính AH
⇒OM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH
