Đáp án: C
Giải:
ĐK: \(n \geq 0\)
\(A_{n}^{2}=C_{n}^{2}+C_{n}^{1}+4n+6\)
\( \Leftrightarrow \frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n!}{2!(n-2)!}+\frac{n!}{(n-1)!}+4n+6\)
\( \Leftrightarrow n(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}+n+4n+6\)
\( \Leftrightarrow n^{2}-11n-12=0\)
\( \Leftrightarrow n=12\) [nhận] và \(n=-1\) [loại]
Với \(n=12\), Ta có: \((x^{2}+\frac{3}{n})^{2}\)
\(T_{k+1}=C_{k}^{12}.(x^{2})^{n-k}.(\frac{3}{x})^{k}=C_{k}^{12}.3^{k}.x^{24-3k}\)
Do số hạng chứa \(x^{9}\)
Nên \(24-3k=9\)
\( \Leftrightarrow k=5 \)
Hệ số của số hạng chứa \(x^{9}\): \(C_{k}^{12}.3^{k}=C_{5}^{12}.3^{5}=192456\)