Xét tam giác vuông HCM có : \(\widehat{AMC}={{45}^{0}}\) (góc nt chắn cung AC)
=> Tam giác vuông HCM vuông cân tại H
\(\Rightarrow HM=HC\Rightarrow H\) thuộc trung trực của MC.
Lại có OM = OC => O thuộc trung trực của MC.
=> OH là trung trực của MC.
Mà N thuộc OH => NM = NC => Tam giác NMC cân tại N.
\(\Rightarrow \widehat{NMC}=\widehat{NCM}\).
Ta có : \(\widehat{DCB}=\widehat{DMB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DAB)
\(\Rightarrow \widehat{DCB}+\widehat{NCM}=\widehat{DMB}+\widehat{NMC}\Rightarrow \widehat{DCM}=\widehat{BMC}\).
\(\Rightarrow \widehat{DCH}+\widehat{HCM}=\widehat{BMH}+\widehat{HMC}\)
Mà \(\widehat{HCM}=\widehat{HMC}\) (Do tam giác HMC cân tại H)
=> \(\widehat{DCH}=\widehat{BMH}\).
Mà \(\widehat{BMH}={{90}^{0}}\) (góc nt chắn nửa đường tròn) => \(\widehat{DCH}={{90}^{0}}\Rightarrow DC\bot CH\).
Lại có \(CH\bot AM\Rightarrow CD//AM\).
Ta có \(\left\{ \begin{align}
& CH\bot AM \\
& BM\bot AM \\
\end{align} \right.\Rightarrow CH//BM\Rightarrow \frac{CK}{BK}=\frac{HK}{MK}=1\Rightarrow K\) là trung điểm của HM.
Xét tam giác cân HCM có HN là trung trực đồng thời là trung tuyến, CK là trung tuyến.
=> MN cũng là trung tuyến của tam giác HMC => MN đi qua trung điểm của CH.
Gọi MN giao CH bằng E => E là trung điểm của CH.
Ta có CD // AM (cmt) \(\Rightarrow \frac{EC}{EH}=\frac{EM}{ED}=1\Rightarrow E\) là trung điểm của MD
=> DCMH là hình bình hành => CM // DH (1).
Lại có BMCH là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại TĐ mỗi đường)
=> CM // HB (2)
Từ (1) và (2) => B, H, D thẳng hàng (Tiên đề Ơ-clit).
