Vì trên đề chưa cho điểm N nên mình sẽ coi N là giao điểm của d với (O)
a, CM ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{CMA}=\widehat{CMB}=90°$ Hay $\widehat{HMB}=90°$
Xét (O) có: E ∈ (O) (gt) ⇒ $\widehat{AEB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Hay $\widehat{HEB}=90°$
Xét tứ giác BMHE có: $\widehat{HMB}+\widehat{HEB}=90°+90°=180°$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác BMHE nội tiếp đường tròn đường kính BH
b, $\widehat{AEB}=90°$ (cmt) ⇒ AE ⊥ BC
Xét (O) có: D ∈ (O) (gt) ⇒ $\widehat{ADB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ BD ⊥ AC
Xét ΔABC có:
AE ⊥ BC (cmt)
CM ⊥ AB (gt)
AE cắt CM tại H
⇒ H là trực tâm của ΔABC
⇒ BH ⊥ AC
Mà BD ⊥ AC (cmt)
⇒ BH ≡ BD
⇒ Ba điểm B, H, D thẳng hàng
b, Xét ΔAMC vuông tại M ($\widehat{CMA}=90°$) có:
$\widehat{CAM}+\widehat{ACM}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
Hay $\widehat{CAB}+\widehat{ACN}=90°$
Xét ΔADB vuông tại D ($\widehat{ADB}=90°$) có:
$\widehat{DAB}+\widehat{DBA}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
Hay $\widehat{CAB}+\widehat{DBA}=90°$
Mà $\widehat{CAB}+\widehat{ACN}=90°$ (cmt)
⇒ $\widehat{ACN}=\widehat{DBA}$
Xét (O) có: $\widehat{DNA}=\widehat{DBA}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{DA}$)
⇒ $\widehat{DNA}=\widehat{ACN}$
Xét ΔADN và ΔANC có:
$\widehat{DNA}=\widehat{ACN}$ (cmt)
$\widehat{CAN}$: góc chung
⇒ ΔADN ~ ΔANC (g.g)
⇒ $\frac{AD}{AN}$=$\frac{AN}{AC}$ (hai góc tương ứng)
⇒ AN²=AD.AC
⇒ BN²+AD.AC=BN²+AN²
Xét (O) có: N ∈ (O) (gt) ⇒ $\widehat{ANB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Áp dụng định lí Pytago trong ΔANB vuông tại N ($\widehat{ANB}=90°$) có:
AB²=AN²+BN²
Hay BN²+AN²=(2R)²=4R²
⇒ BN²+AD.AC=4R²
