a) Ta có: ∆ABC nội tiếp nửa đường tròn (O), BC là đường kính (gt)
=> ∆ABC vuông tại A
b) Xét ∆ABC vuông tại A
Ta có: BC$^{2}$ = AB$^{2}$ +AC$^{2}$ (định lí Pytago )
BC$^{2}$ = 5$^{2}$ + (5√3)$^{2}$
=>BC = 10cm
Mà OB = R ( bán kính )
=> OB =$\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$.10 = 5cm
Xét ∆ABC vuông tại A, đường cao AH
Ta có: AB$^{2}$ = BH.BC (htl)
5$^{2}$ = BH. 10
BH = 2,5cm
Ta có: CosB = $\frac{AB}{BC}$ (tslg)
=> CosB = $\frac{5}{10}$ = 0,5
=> $\widehat{B}$ = 60°
c) Ta có: AH $\bot$ BC tại H (gt)
KB $\bot$ BC tại B (gt)
=> AH $\bot$ KB ( cùng $\bot$ BC )
Mà E thuộc KB, I thuộc AH
=> AI // KE, IH // EB
Xét ∆CKE
Ta có: AI // KE (cmt)
=> $\frac{AI}{KE}$ = $\frac{CI}{CE}$ (hệ quả định lí Talet ) (1)
Xét ∆BEC
Ta có: IH // EB (cmt)
=> $\frac{IH}{EB}$ = $\frac{CI}{CE}$ (hệ quả định lí Talet) (2)
Từ (1),(2) => $\frac{AI}{KE}$ = $\frac{IH}{EB}$ ( cùng bằng $\frac{CI}{CE}$ )
Mà I là trung điểm AH (cmt)
=> AH = IH, KE = EB
=> E là trung điểm BK
c) Xét ∆BAK vuông tại A
Ta có: EA là đường trung tuyến
=> AE = EK = EB = $\frac{1}{2}$BK (t/c đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )
Xét ∆OBE và ∆OEA
Ta có: EB = EA (cmt)
OA = OB (bán kính)
OE: cạnh chung
=> ∆OBE = ∆OEA ( c-c-c )
=> $\widehat{OBE}$ = $\widehat{OAE}$ ( 2 góc tướng ứng )
Mà $\widehat{OBE}$ = 90° ( BK là tiếp tuyến )
=> $\widehat{OAE}$ = 90°
=> EA $\bot$ OA tại A
=> EA là tiếp tuyến nửa đường tròn (O), đường kính BC
😊
