Đáp án:
Bạn tham khảo nhé!
Giải thích các bước giải:
1. Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta co:
OM là phân giác của \(\widehat {AOC}\).
ON là phân giác của \(\widehat {BOC}\).
Mà \(\widehat {AOC} + \widehat {BOC} = {180^0} \Rightarrow OM \bot ON\).
Vậy \(\Delta OMN\) vuông tại O.
Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AM = CM\\BN = CN\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow MN = CM + CN = AM + BN\).
2. Gọi I là trung điểm của OM.
Tam giác \(OAM\) vuông tại A có trung tuyến \(IA\) ứng với cạnh huyền \(OM\).
\( \Rightarrow IA = \dfrac{1}{2}OM = IO = IM\).
Tam giác \(OCM\) vuông tại C có trung tuyến \(CI\) ứng với cạnh huyền \(OM\).
\( \Rightarrow IC = \dfrac{1}{2}OM = IO = IM\).
\( \Rightarrow IO = IM = IA = IC \Rightarrow \) Bốn điểm A, O, C, M cùng thuộc đường tròn tâm I đường kính OM.
3. Ta có \(AM\parallel BN\) (cùng vuông góc với AB)
\( \Rightarrow \) Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{AM}}{{BN}} = \dfrac{{MK}}{{BK}}\)
Mà \(AM = CM,\,\,BN = CN \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{CN}} = \dfrac{{MK}}{{BK}}\)
\( \Rightarrow CK\parallel BN\) (Định lí Ta-lét đảo) \( \Rightarrow CH\parallel BN\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
\(\dfrac{{CK}}{{BN}} = \dfrac{{MK}}{{MB}};\,\,\dfrac{{KH}}{{BN}} = \dfrac{{AK}}{{AN}}\).
\(AM\parallel BN\)\( \Rightarrow \) Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
\(\dfrac{{AK}}{{KN}} = \dfrac{{MK}}{{KB}} \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AK + KN}} = \dfrac{{MK}}{{MK + KB}} \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AN}} = \dfrac{{MK}}{{MB}}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{CK}}{{BN}} = \dfrac{{KN}}{{BN}} \Rightarrow CK = KH\).
Vậy K là trung điểm của CH (đpcm).
