a) Ta có:
$CA,\,CM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,\,M\quad (gt)$
$\Rightarrow CA = CM$
Tương tự, ta được: $DB = DM$
Do đó: $CD = CM + MD = CA + DB$
b) Ta có: $CA = CM$ (câu a)
$OA = O = R$
$\Rightarrow OC$ là trung trực của $AM$
$\Rightarrow OC$ là phân giác của $\widehat{MOA}$
$\Rightarrow \widehat{MOC} = \dfrac{1}{2}\widehat{MOA}$
Tương tự, ta được:
$\widehat{MOD} = \dfrac{1}{2}\widehat{MOB}$
$\Rightarrow \widehat{MOC} + \widehat{MOD} = \dfrac{1}{2}(\widehat{MOA} + \widehat{MOB})$
$\Rightarrow \widehat{COD} = \dfrac{1}{2}\cdot180^\circ =90^\circ$
c) Ta có: $\widehat{COD}=90^\circ$ (câu b)
$\Rightarrow ΔCOD$ vuông tại $O$
Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔCOD$ vuông tại $O$ đường cao $OM$ ta được:
$CM.MD = OM^2$
$\to AC.BD = R^2$
d) Ta có: $AC\perp AB;\, BD\perp AB$
$\Rightarrow AC//BD$
$\Rightarrow ABDC$ là hình thang hai đáy $AC,\,BD$
Ta lại có: $I$ là trung điểm $CD\quad (gt)$
$O$ là trung điểm $AB\quad (gt)$
$\Rightarrow OI$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$
$\Rightarrow OI//AC//BD$
$\Rightarrow OI\perp AB\qquad (1)$
Xét $ΔOCD$ vuông tại $O$ có:
$I$ là trung điểm cạnh huyền $CD$
$\Rightarrow OI = OC = OD$
$\Rightarrow OI$ là bán kính của $\left(I;\dfrac{CD}{2}\right)\qquad (2)$
$(1)(2)\Rightarrow AB$ là tiếp tuyến của $\left(I;\dfrac{CD}{2}\right)$
