Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AE$ là tiếp tuyến của $(O)\to AE\perp AB$

Mà $AB$ là đường kính của $(O)\to AC\perp BC, AD\perp BD\to AD\perp BE$

$\to BD.BE=BA^2=(2R)^2=4R^2$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

b.Vì $D$ nằm chính giữa cung $AC\to OD\perp AC$

$\to OD//BC$   vì $AC\perp BC$

$\to \widehat{BKA}=\widehat{ODA}=\widehat{OAD}=\widehat{BAK}$

$\to\Delta KAB$ cân tại $B$

c.Ta có $\Delta KAB$ cân tại $B, BD\perp AK\to BD$ là phân giác $\widehat{KBA}$

$\to BI$ là phân giác $\widehat{KBP}$

$\to \dfrac{IP}{IK}=\dfrac{BP}{BK}=\dfrac{BP}{BA}$ vì $\Delta ABK$ cân tại $B$

d.Ta có: $CE//AB$

$\to \widehat{IEC}=\widehat{IBA}=\widehat{DBA}=\widehat{DCA}=\widehat{DCI}$

Mà $\widehat{DIC}=\widehat{EIC}$

$\to\Delta ICD\sim\Delta IEC(g.g)$

$\to \dfrac{IC}{IE}=\dfrac{ID}{IC}$

$\to IC^2=ID.IE$

Lại có $AD\perp BD\to AD\perp EI$

Mà $\widehat{EAD}=\widehat{DBA}=\widehat{DBC}=\widehat{DAC}=\widehat{DAI}$

$\to \Delta AEI$ cân tại $A$

$\to D$ là trung điểm $EI\to IE=2ID$

$\to IC^2=2ID^2$

$\to IC=ID\sqrt{2}$

Xét $\Delta IAD,\Delta ICB$ có:

$\widehat{IDA}=\widehat{ICB}=90^o$

$\widehat{DIA}=\widehat{CIB}$

$\to\Delta AID\sim\Delta BIC(g.g)$

$\to \dfrac{AI}{BI}=\dfrac{ID}{IC}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\to IA=\dfrac{IB}{\sqrt{2}}$

Ta có:

$\widehat{DAI}=\widehat{DBC}=\widehat{DBA}, \widehat{ADI}=\widehat{ADB}$

$\to\Delta DAI\sim\Delta DBA(g.g)$

$\to \dfrac{DA}{DB}=\dfrac{DI}{DA}$

$\to DA^2=DI.DB$

$\to AI^2=DI.(DI+IB)$

$\to (\dfrac{IB}{\sqrt{2}})^2=DI.(DI+IB)$

$\to \dfrac12BI^2=DI^2+DI.BI$

$\to BI^2=2DI^2+2DI.BI$

$\to BI^2-2DI.BI+DI^2=3DI^2$

$\to (BI-DI)^2=3ID^2$

$\to BI-DI=ID\sqrt{3}$

$\to BI=DI+ID\sqrt{3}$

$\to BI=DI(1+\sqrt{3})$

$\to BD=BI+ID=DI(2+\sqrt{3})$

$\to AD=\sqrt{AI^2-ID^2}$

$\to AD=\sqrt{(\dfrac{IB}{\sqrt{2}})^2-(\dfrac{BI}{1+\sqrt{3}})^2}$

$\to AD=BI\sqrt{\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}}$

Lại có $BD=DI+IB=\dfrac{1}{1+\sqrt{3}}\cdot BI+IB=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\cdot IB$

$\to IB=\dfrac{2}{1+\sqrt{3}}BD$

$\to AD=\dfrac{2}{1+\sqrt{3}}BD\cdot \sqrt{\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}}$

$\to \dfrac{AD}{BD}=\dfrac{2}{1+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}}$

$\to \tan\widehat{DBA}=\dfrac{2}{1+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}}$

$\to \widehat{DBA}=\arctan(\dfrac{2}{1+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}})$

$\to \widehat{CBA}=2\widehat{DBA}=2\arctan(\dfrac{2}{1+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}})$

$\to \cos\widehat{CBA}=\dfrac{CB}{AB}=\dfrac{BC}{2R}$

$\to BC=2R\cos\widehat{CBA}$

$\to BC=2R\cos(2\arctan(\dfrac{2}{1+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}}))$