a) Xét tứ giác $ABCD$ có:
$AD\parallel OM\parallel CB$ (vì cùng $\bot xy$) có $O$ là trung điểm cạnh $AB$
$\Rightarrow OM$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$
$\Rightarrow M$ là trung điểm cạnh $CD\Rightarrow MC=MD$ (đpcm)
b) Do $OM$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ nên $OM=\dfrac{AD+BC}{2}$
$\Rightarrow AD+BC=2OM$ không đổi
c) Ta có $M$ là trung điểm của đường kính $CD$ nên $M$ là tâm đường tròn đường kính $(CD)$
Lại có $AD\bot MD\Rightarrow AD$ là tiếp tuyến của $(CD)$
Tương tự $BC$ cũng là tiếp tuyến đường tròn đường kính $(CD)$
Ta dựng $MF\bot AB$ (*)
Ta xét $\Delta OAM$ cân đỉnh $O$ $(OA=OM)$ nên $\widehat{OAM}=\widehat{OMA}$ (1)
Mà $\widehat{DMA}+\widehat{OMA}=90^o\Rightarrow \widehat{DMA}=90^o-\widehat{OMA}$ (2)
$\Delta AMF:\widehat{AMF}=90^o-\widehat{OAM}$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{DMA}=\widehat{AMF}$
Xét $\Delta$ vuông $AMD$ và $\Delta$ vuông $AMF$ có:
$\widehat{DMA}=\widehat{AMF}$ (cmt)
$AM$ chung
$\Rightarrow $$\Delta$ vuông $AMD=\Delta$ vuông $AMF$ (cạnh huyền góc nhọn)
$\Rightarrow MD=MF$ (**)
Từ (*) và (**) suy ra $AB$ là tiếp tuyến của $(DC)$
d) Ta có: $S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}.(AD+BC).CD=OM.CD$
Do $OM$ không đổi nên để $S_{ABCD}$ lớn nhất thì $CD$ lớn nhất
$\Leftrightarrow CD=AB$ khi đó $M$ thuộc điểm chính giữa của cung $AB$ và $S=OM.AB=\dfrac{AB}{2}.AB=\dfrac{AB^2}{2}$
