Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a)Ta có: $\widehat{AQB}=90^o$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$⇒\widehat{MQA}=90^o$(kề bù$ \widehat{AQB}$) (1)
Xét $ΔMAO$ và $ΔMCO$,có:
$OA=OC$
$OM$ chung
$⇒ΔMAO=ΔMCO$
$⇒\widehat{AOM}=\widehat{COM}$
$⇒OM$ là tia phân giác của $\widehat{AOC}$
Mà $ΔAOC$ cân
$⇒OM⊥AC$
$⇒\widehat{MIA}=90^o$ (2)
Từ (1) và (2)⇒$\widehat{MIA}=\widehat{MQA}$ cùng nhìn cung MA 1 góc $90^o$
$⇒M,Q,I,A$ cùng thuộc 1 đường tròn $R=\dfrac{MA}{2}$
b)$\widehat{AQI}=\widehat{AMI}$ (3)
$\widehat{ACO}+\widehat{ACM}=90^o$
Mà $ΔAMC$ cân tại M
$⇒\widehat{ACO}+\widehat{MAC}=90^o$
Mà $\widehat{MAC}+\widehat{AMI}$
⇒$\widehat{ACO}=\widehat{AMI}$ (4)
Từ (3) và (4)⇒$\widehat{AQI}=\widehat{ACO}$
c)
BC cắt AM tại K.
Ta có:
$\widehat{KAC}=\widehat{MCA}$ ($ΔAMC cân$)
Mà $\widehat{KAC}+\widehat{AKC}=90^o$ (ΔAKC vuông tại C)
$⇒\widehat{MCA}+\widehat{AKC}=90^o$
Mà $\widehat{MCA}+\widehat{MCK}=90^o$
$⇒\widehat{AKC}=\widehat{MCK}$
$⇒ΔMKC$ cân tại M
$⇒MC=MK$
Mà $MC=MA$(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
$⇒MK=MA$
Ta có: HN // MA (cùng vuông góc AB)
$⇒\dfrac{HN}{MA}=\dfrac{BN}{BM}$ (hệ quả thales) (*)
Ta có: CN // MK ( C thuộc tia HN, K thuộc tia AM)
$⇒\dfrac{CN}{MK}=\dfrac{BN}{BM}$ (hệ quả thales) (**)
Từ (*) và (**) và $MA=MK$
$⇒CN=HN$
