- a) 4 điểm $O,E,M,N$ cùng thuộc một đường tròn
$\bullet \,\,\,\,\,NE$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $\widehat{NEO}=90{}^\circ $
$\bullet \,\,\,\Delta NEO$ vuông tại $E$ nên $3$ điểm $N,E,O$ cùng thuộc $1$ đường tròn đường kính $OE$
$\Delta NMO$ vuông tại $M$ nên $3$ điểm $N,M,O$ cùng thuộc $1$ đường tròn đường kính $OE$
$\to O,E,M,N$ cùng thuộc $1$ đường tròn với đường kính là cạnh $OE$.
- b) $N{{E}^{2}}=NC.NB$
$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta NEC$ và $\Delta NBE$ có:
$\widehat{ENB}$ là góc chung
$\widehat{NEC}=\widehat{NBE}$ ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến $NE$ và dây cung $EC$ )
$\to \Delta NEC\sim \Delta NBE$
$\to \dfrac{NE}{NC}=\dfrac{NB}{NE}$
$\to N{{E}^{2}}=NB.NC$
- c) Chứng minh $\widehat{NEH}=\widehat{NME}$
$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$, đường kính $AB$
$\to \Delta ABC$ vuông tại $C$
$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta NCH$ và $\Delta NMB$ có:
$\widehat{MNB}$ là góc chung
$\widehat{NCH}=\widehat{NMB}=90{}^\circ $
$\to \Delta NCH\sim \Delta NMB$
$\to \dfrac{NC}{NM}=\dfrac{NH}{NB}$
$\to NB.NC=NH.NM$
$\bullet \,\,\,\,\,$Mà $NB.NC=N{{E}^{2}}$ ( chứng minh trên )
$\to N{{E}^{2}}=NH.NM$
$\to \dfrac{NE}{NM}=\dfrac{NH}{NE}$
$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta NEH$ và $\Delta NME$ có:
$\widehat{ENM}$ là góc chung
$\dfrac{NE}{NM}=\dfrac{NH}{NE}$ ( chứng minh trên )
$\to \Delta NEH=\Delta NME$
$\to \widehat{NEH}=\widehat{NME}$
- d) $NF$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$
$\bullet \,\,\,\,\,$Gọi $S$ là giao điểm của $EF$ và $ON$
$\bullet \,\,\,\,\,$Ta có 4 điểm $O,E,M,N$ cùng thuộc $1$ đường tròn ( chứng minh ở câu a )
$\to OMEN$ là tứ giác nội tiếp
$\to \widehat{NME}=\widehat{NOE}$ ( cùng chắn $\overset\frown{NE}$
Mà $\widehat{NME}=\widehat{NEH}$ ( chứng minh ở câu c )
$\to \widehat{NOE}=\widehat{NEH}$
$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta NOE$ và $\Delta NES$ có:
$\widehat{ENO}$ là góc chung
$\widehat{NOE}=\widehat{NEH}$ ( chứng minh trên )
$\to \Delta NOE\sim \Delta NES$
$\to \dfrac{NO}{NE}=\dfrac{NE}{NS}$ và $\widehat{NEO}=\widehat{NSE}=90{}^\circ $
$\to N{{E}^{2}}=NS.NO$ và $ON\bot EF$ tại $S$
$\bullet \,\,\,\,\,ON$ vuông góc với dây cung $EF$
$\to ON$ là đường trung trực của $EF$
$\to NE=NF$
Mà $N{{E}^{2}}=NS.NO$
Nên $N{{F}^{2}}=NS.NO$
$\to \dfrac{NF}{NO}=\dfrac{NO}{NS}$
$\bullet \,\,\,\,\,$Xét $\Delta NFS$ và $\Delta NOF$ có:
$\dfrac{NF}{NO}=\dfrac{NO}{NS}$ ( chứng minh trên )
$\widehat{ONF}$ là góc chung
$\to \Delta NFS\sim \Delta NOF$
$\to \widehat{NSF}=\widehat{NFO}=90{}^\circ $
$\to NF$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$
