$d)$ Dễ dàng chứng minh được $\triangle IKC\backsim \triangle IBK$
$\Rightarrow \dfrac{KB}{KC}=\dfrac{IB}{IK}$
mà $IK = IA$ (hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $K, A$)
nên $\dfrac{KB}{KC}=\dfrac{IB}{IA}=\dfrac{1}{\sin\widehat{IBA}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{KB}{KC}=\dfrac{1}{\sin\widehat{MBO}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{KB}{KC}=\dfrac{1}{\dfrac{OM}{OB}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{KB}{KC}=\dfrac{OB}{OM}$
$\Leftrightarrow \dfrac{KB}{KC}=\dfrac{OB}{\sqrt{OB^2 - MB^2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{KB}{KC}=\dfrac{R}{\sqrt{R^2 - \left(\dfrac{R\sqrt2}{2}\right)^2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{KB}{KC}=\sqrt2$