Xét $\Delta MEO$ và $\Delta NEO $
$EO:$ chung
$\widehat{MEO}=\widehat{NEO}=90^o\\MO=NO=R\\=>\Delta MEO = \Delta NEO \\=>ME=NE$
Mà $AC \perp MN$
$=>AC$ là trung trực $MN$
$=>AM=AN(1)$
$MN$ là trung trực $AB$
$=>AM=BM;AN=BN(2)\\(1)(2)=>AM=BM=AN=BN$
$=>AMBN$ là hình thoi
$b)\Delta AMC$ nội tiếp đường tròn $O, AC$ là đường kính
$=>\widehat{AMC}=90^o$ hay $AM \perp MC(3)$
$\Delta BPC$ nội tiếp đường tròn $O', BC$ là đường kính
$=>\widehat{BPC}=90^o hay BP \perp MC(4)\\(3)(4)=>BP //AM$
$c)AMBN$ là hình thoi
$=>NB//AM$
Mà $BP //AM=>P,B,N$ thẳng hàng(Do 2 đoạn thẳng có chung điểm $B$ và cùng song song $AM)$
$d)\Delta MPN$ vuông có trung tuyến $EP$ ứng với cạnh huyền $MN$
$=>EP=ME=MN$
$=>\Delta EPN$ cân
$=>\widehat{EPN}=\widehat{N_1}(*)\\NA=NB$
$=>\Delta NAB$ cân tại $N$
Có $NE$ vừa là trung trực vừa là phân giác
$=>\widehat{N_1}=\widehat{N_2}(*')$
$\widehat{N_2}=\widehat{C}($cùng chắn cung $AM)(*")$
$\Delta BPC$ vuông có trung tuyến $PO'$ ứng với cạnh huyền $BC$
$=>PO'=BO'=CO'$
$=>\Delta PO'C$ cân
$=>\widehat{P_1}=\widehat{C}(*"')\\ (*)(*')(*")(*"')=>\widehat{EPN}=\widehat{P_1}\\ \widehat{P_1}+\widehat{P_2}=90^o\\ <=>\widehat{P_2}+\widehat{EPN}=90^o\\ <=>\widehat{EPO'}=90^o\\ =>Đpcm$
