Đáp án đúng: Giải chi tiết: Gọi giao điểm của AO và BC là M, giao điểm của BO và AC là I, giao điểm của CO và AB là N. Xét \(\Delta BIC\) có: \(BI Xét \(\Delta AIO\) có: \(AO Suy ra: \(BI+AO Mà O nằm giữa B và I \(\Rightarrow BI=OB+OI\) và I nằm giữa A và C \(\Rightarrow AC=AI+IC\) Do đó ta có: \(OB+OI+AO Xét \(\Delta AMB\) có: \(AM Xét \(\Delta MCO\) có: \(OC Suy ra: \(AM+OC Mà O nằm giữa A và M \(\Rightarrow AM=OA+OM\) và M nằm giữa B và C \(\Rightarrow BC=MB+MC\) Do đó ta có: \(OA+OM+OC Xét \(\Delta ANC\) có: \(CN Xét \(\Delta BNO\) có: \(OB Suy ra: \(CN+OB Mà O nằm giữa C và N \(\Rightarrow NC=OC+ON\) và N nằm giữa A và B \(\Rightarrow AB=AN+NB\) Do đó ta có: \(ON+OC+OB Cộng vế với vế của \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right)\) ta được: \(2\left( OA+OB+OC \right)<2\left( AB+AC+BC \right)\Rightarrow OA+OB+OC Mặt khác, trong các \(\Delta OAB\), \(\Delta OCB\), \(\Delta OAC\) theo bất đẳng thức tam giác ta có:\(\left\{ \begin{align} & OA+OB>AB \\ & OC+OB>BC \\ & OC+OA>AC \\ \end{align} \right.\) Cộng theo từng vế của ba bất đẳng thức trên ta được: \(2\left( OA+OB+OC \right)>AB+AC+BC\Rightarrow OA+OB+OC>\frac{AB+AC+BC}{2}\left( 5 \right)\) Từ \(\left( 4 \right)\) và\(\left( 5 \right)\Rightarrow \)\(\frac{AB+AC+BC}{2}
