a,
Gọi $P$, $Q$ là hình chiếu của $A$, $C$ trên $BC$, $AB$
Tứ giác $BPHQ$ có $\widehat{BQH}+\widehat{BPH}=90^o+90^o=180^o$
$\to$ tứ giác $BPHQ$ nội tiếp
$\to \widehat{CBH}=\widehat{PQH}$
Tứ giác $AQPC$ có $\widehat{AQC}=\widehat{APC}=90^o$
$\to P, Q$ nhìn đoạn $AC$ dưới góc $90^o$
$\to$ tứ giác $AQPC$ nội tiếp
$\to \widehat{PQH}=\widehat{PAC}$
Mà $\widehat{H'BC}=\widehat{PAC}=\dfrac{1}{2} sđ\stackrel\frown{CH' }$
Suy ra $\widehat{H'BC}=\widehat{HBC}$
$\to BC$ phân giác $\widehat{H'BH}$
$\Delta HBH'$ có $BP$ là phân giác, là đường cao nên cũng là trung tuyến ứng với $HH'$
Vậy $BC$ là trung trực $HH'$
b,
Ta có: $H'$ là điểm đối xứng với $H$ qua $BC$ do $P$ là trung điểm $HH'$
Mà khi $A$ thay đổi, $H'$ chuyển động trên $(O)$
Gọi $E$ là điểm đối xứng $O$ qua $BC$
$\to H'$ chuyển động trên $(O;R)$ thì $H$ chuyển động trên $(E;HE)$
$B$ có điểm đối xứng qua $BC$ là $B$ nên $B$ là điểm chung $(O)$ và $(E)$
Mà $BO=BE=R$ ($\Delta BOE$ cân tại $B$)
Vậy $H$ chuyển động trên $(E;R)$
