a) Ta có:
$AI = IC=\dfrac12AC\quad (gt)$
$OA = OC = R$
$\Rightarrow OI$ là trung trực của $AC$
$M\in OI$
$\Rightarrow MA = MC$
Xét $∆MAO$ và $∆MCO$ có:
$OA = OC = R$
$MA = MC \quad (cmt)$
$OM:$ cạnh chung
Do đó $∆MAO=∆MCO\, (c.c.c)$
$\Rightarrow \widehat{MCO}=\widehat{MAO}=90^o$
$\Rightarrow OC\perp MC$
$\Rightarrow MC$ là tiếp tuyến của $(O)$
b) Ta có:
$AI = IC =\dfrac12AC\quad (gt)$
$AO = OB = \dfrac12AB = R$
$\Rightarrow OI//BC$ (đường trung bình)
$\Rightarrow \widehat{IOA}=\widehat{MAO}=\widehat{CBA}$
Xét $∆MAO$ và $∆ACB$ có:
$\widehat{MAO}=\widehat{CBA}\quad (cmt)$
$\widehat{M}=\widehat{A}=90^o$
Do đó $∆MAO\sim ∆ACB\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{MA^2}{AC^2}=\dfrac{OA^2}{BC^2}$
$\Rightarrow \dfrac{MA^2}{OA^2}=\dfrac{AC^2}{BC^2}$
$\Rightarrow \dfrac{MI.MO}{OI.MO}=\dfrac{AH^2.AB}{HB^2.AB}$ (hệ thức lượng)
$\Rightarrow \dfrac{MI}{OI}=\dfrac{AH}{HB}$
Ta lại có:
$CH//MA\quad (\perp AB)$
$\Rightarrow \dfrac{MK}{KB}=\dfrac{AH}{HB}$ (định lý $Thales$)
Do đó:
$\dfrac{MI}{OI}=\dfrac{MK}{KB}$
$\Rightarrow IK//OB$ (định lý $Thales$ đảo)
$\Rightarrow IK//AB$
c) Ta có:
$P_{ABC}=AC + BC + AB$
$\to P_{ABC} \leq \sqrt{(1^2 +1^2)(AC^2 + BC^2)} + AB$
$\to P_{ABC} \leq \sqrt2AB + AB$
$\to P_{ABC}\leq (1+\sqrt2)AB$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow AC = BC$
$\Leftrightarrow C$ là điểm chính giữa nửa đường tròn
