Giải thích các bước giải:
a.Ta có $\Delta OAB$ có $OA=OB=R, AB=R\sqrt2\to \Delta OAB$ vuông cân tại $O$
Mà $AE\perp BM, BF\perp AM$
$\to\widehat{AFB}=\widehat{AOB}=\widehat{AEB}=90^o$
$\to A,B,E,F,O\in $đường tròn đường kính $AB$
b.Ta có $BF\perp AM, AE\perp BM$
$\to \widehat{HEB}=\widehat{HFM}=90^o$
$\to MFHE$ nội tiếp
$\to\widehat{FMH}=\widehat{FEH}=\widehat{FBA}=\widehat{QMF}$
Mà $BF\perp AM\to HQ\perp MF$
$\to \Delta MQH$ có $MF$ vừa là đường cao vừa là phân giác
$\to \Delta MQH$ cân tại $M$
$\to FQ=FH$
Tương tự $EH=EP$
$\to EF$ là đường trung bình $\Delta HPQ$
$\to EF//PQ$
Ta có $\widehat{QHF}=2\widehat{FMH}(cmt)$ tương tự $\widehat{HMP}=2\widehat{HME}$
$\to\widehat{QMP}=2\widehat{FME}=\widehat{AOB}=90^o$
$\to PQ$ là đường kính của $(O)$
$\to P,O,Q$ thẳng hàng
c.Gọi diện tích cần tìm là $S$
$\to S=S_{quạt\quad AOB}-S_{\Delta AOB}$
$\to S=\dfrac{90^o}{360^o}\cdot \pi R^2-\dfrac12R^2$
$\to S=\dfrac12R^2(\dfrac12\pi-1)$
d.Ta có $PQ$ là đường kính của (O)
$\to PA\perp QA, QB\perp BP\to PA\perp SQ, QB\perp PS$
$\to H$ là trực tâm $\Delta SQP\to SI\perp PQ$
Dễ chứng minh $\Diamond HIQA, \Diamond HIPB, \Diamond HASB$ nội tiếp
$\to \widehat{AIH}=\widehat{AQH}=\widehat{AQB}=\widehat{AMB}$
Tương tự $\widehat{HIB}=\widehat{HPB}=\widehat{AMB}$
$\to\widehat{AIB}=2\widehat{AMB}=\widehat{AOB}=90^o$
$\to I\in $đường tròn đường kính $AB$ cố định
