Giải thích các bước giải:

a) Xét tứ giác ABDC có AC∥DB (vì cùng ⊥AB)

⇒ABDC là hình thang

Lại có $\widehat{CAB}=\widehat{ABD}=90^o$

⇒ABDC là hình thang vuông

b) ΔAEB nội tiếp đường tròn đường kính (AB)

$\Rightarrow \widehat{AMB}=90^o$

$\Rightarrow BE\bot AE$

Áp dụng hệ thức lượng vào Δ vuông ABD đường cao BEBE có:

BD=DE.DA (1)

Do DMvà DB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O)

$\Rightarrow DM=DB$

$\Rightarrow \Delta DMB$ cân tại D

có thêm DO là đường phân giác của $\widehat{MDB}$ 

$\Rightarrow DO$  là đường cao  $\Rightarrow DO\bot MB$

Áp dụng hệ thức lượng vào  $\Delta$ vuông BCD  đường cao  BN có

$BD^2=DN.DC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE.DA=DN.DC (đpcm)

c, Xét tg ABF và OBD 

$\widehat{AOF}=\widehat{OBD}=90^o$

AO=OB

$\widehat{A_1}=\widehat{O_1}$

$\Rightarrow \Delta AOF=\Delta OBD$

$\Rightarrow OF=BD$

Lại có OF∥BD (vì cùng ⊥AB)

=> OFBD  là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Lại có: 

$\widehat{FOB}=90^o$

=> OFBD là hình chữ nhật

d, ta có AM=OM=OA=R nên tam giác OAM là tam giác đều 

=> $\Rightarrow \widehat{DBM}=\widehat{A_1}=60^o$ và DM = DB

=> tam giác MBD đều => DB = MB  

Xét tam giác AMB ta có: $MB=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{(2R)^2-R^2}=R\sqrt3$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau CA=CM⇒ΔACM cân đỉnh M

CO là tia phân giác của $\widehat {ACM}\Rightarrow CO$ là đường cao => $\Rightarrow CO\bot AM$

gọi $CO\cap AM=K$ K là trung điểm AM

$\widehat{CAK}=30^o$

Áp dụng hệ thức lượng ta được $\cos\widehat{CAK}=\dfrac{AK}{AC}$

$\Rightarrow AC=\dfrac{AK}{\cos\widehat{CAK}}=\dfrac{\dfrac{R}{2}}{\cos30^o}=\dfrac{R}{\sqrt3}$

$\Rightarrow S_{ABDC}=\dfrac{(AC+BD).AB}{2}=\dfrac{(\dfrac{R}{\sqrt3}+R\sqrt3)2R}{2}=\dfrac{4R^2}{\sqrt3}$