a) Ta có: $SA=SB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $S$ thuộc đường trung trực của AB
Ta lại có: $OA=OB$ $(=R)$ nên $O$ thuộc đường trung trực của AB
Vậy SO là đường trung trực của AB
Hay $SO\bot AB$
b) Ta có: $SO\bot AB$ tại H (chứng minh ở câu a)
$\Rightarrow \widehat{SHE}=90^o$
Ta lại có $I$ là trung điểm của MN nên $OI\bot MN$ (quan hệ đường kính và dây cung)
$\Rightarrow\widehat{SIE}=90^o$
$\Rightarrow\widehat{SHE}$ và $\widehat{SIE}$ cùng nhìn cạnh SE dưới một góc là $90^o$
$\Rightarrow I, H, S, E$ cùng thuộc đường tròn đường kính (SE)
c) Từ câu b suy ra $\widehat{ISO}=\widehat{HEI}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung HI)
Xét $\Delta ISO$ và $\Delta HEO$ có:
$\widehat{ISO}=\widehat{HEO}$ (chứng minh trên)
$\widehat{SIO}=\widehat{EHO}=90^o$
$\Rightarrow\Delta ISO\sim\Delta HEO$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OS}{OE}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
$\Rightarrow OI.OE=OS.OH$ (1)
$\Delta AOS\sim\Delta HOA$ (g.g) ($\widehat{O}$ chung, $\widehat{OAS}=\widehat{OHA}=90^o$)
$\Rightarrow \dfrac{OA}{OH}=\dfrac{OS}{OA}$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)
$\Rightarrow OA^2=OH.OS$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $OI.OE=OA^2=R^2$ (đpcm)
