Đáp án + giải thích các bước giải:
Ta sẽ chứng minh tính chất `f(a)-f(b)\vdots (a-b)` với `f(x)` là đa thức có hệ số nguyên.
`f(x)=m_1.x^n+m_2.x^(n-1)+...+m_n.x+d`
`f(a)=m_1.a^n+m_2.a^(n-1)+...+m_n.a+d`
`f(b)=m_1.b^m+m_2.b^(n-1)+...+m_n.b+d`
`->f(a)-f(b)=m_1.a^n+m_2.a^(n-1)+...+m_n.a+d-(m_1.b^m+m_2.b^(n-1)+...+m_n.b+d)=m_1(a^n-b^n)+m_2(a^(n-1)+b^(n-1))+...+m_n(a-b) `
mà `a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+a^{k-3}b^2+\ldots+a^2b^{k-3}+ab^{k-2}+b^{k-1})\vdots(a-b)∀k∈N`
`->đpcm`
Quay lại bài toán, giả sử `a>=b>=c`
Áp dụng tính chất vừa chứng minh, ta có: $\begin{cases} a-b=P(c)-P(a)\vdots (c-a) \to a-b\ge c-a \\ c-a=P(b)-P(c)\vdots (b-c) \to c-a\ge b-c \\ b-c = P(a)-P(b) \vdots (a-b) \to b-c \ge a-b \end{cases} \\\to a-b=b-c=c-a \\\to a=b=c $
mà `a,b,c` phân biệt nên không tồn tại `a,b,c`
