\(\begin{array}{l}{x^2} - 2x + 3 - \left( {m + 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 5} - m = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 5 - \left( {m + 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 5} - m - 2 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
a) Giải phương trình với \(m = 0.\)
TXĐ: \(D = \mathbb{R}.\)
Với \(m = 0\) ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 5 - \sqrt {{x^2} - 2x + 5} - 2 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Đặt \(\sqrt {{x^2} - 2x + 5} = t\,\,\,\left( {t > 0} \right).\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 1 = 0\\t - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 5} = 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 5 = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\,\,\,\\ \Leftrightarrow x = 1\,.\end{array}\)
Vậy với \(m = 0\) thì phương trình có nghiệm \(x = 1\).
b) Tìm \(m\) để phương trình có nghiêm.
TXĐ: \(D = \mathbb{R}.\)
Đặt \(\sqrt {{x^2} - 2x + 5} = t\,\,\,\)
\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - \left( {m + 1} \right)t - m - 2 = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Ta có: \({x^2} - 2x + 5 = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 5} \ge 2\\ \Rightarrow t \ge 2.\end{array}\)
Để phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm \(x\) thì phương trình \(\left( 2 \right)\) phải có nghiệm \(t \ge 2.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow {t^2} + t - \left( {m + 2} \right)t - \left( {m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t + 1} \right) - \left( {m + 2} \right)\left( {t + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - m - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 1 = 0\\t - m - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = m + 2\end{array} \right.\end{array}\)
Ta thấy phương trình \(\left( 2 \right)\) luôn có nghiệm \(t = - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\)
\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) có nghiệm\(t \ge 2 \Leftrightarrow m + 2 \ge 2 \Leftrightarrow m \ge 0.\)
Vậy \(m \ge 0\) thỏa mãn bài toán.
