Đáp án: $m=\dfrac29$
Giải thích các bước giải:
Để phương trình có $2$ nghiệm
$\to\Delta'=\left(-1\right)^2-\left(m-1\right)\ge 0$
$\to 2-m\ge 0$
$\to m\le2$
Khi đó phương trình có $2$ nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn:
$\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m-1\end{cases}$
Vì $x_1$ là nghiệm của phương trình
$\to x_1^2-2x_1+m-1=0$
$\to x_1^2=2x_1-m+1$
$\to x_1^3=2x_1^2-mx_1+x_1$
$\to x_1^3=2x_1^2-mx_1+x_1$
$\to x_1^3=2\left(2x_1-m+1\right)-mx_1+x_1=x_1\left(5-m\right)-2m+2$
Tương tự ta có:
$x_2^2-2x_2+m-1=0$
$\to x_2^2=2x_2-m+1$
Do $ x_1^3+x_1x_2-x_2^2+\left(m-2\right)x_1+2x_2=1$
$\to x_1\left(5-m\right)-2m+2+x_1x_2-\left(2x_2-m+1\right)+\left(m-2\right)x_1+2x_2=1$
$\to x_1x_2+3x_1+1-m=1$
$\to m-1+3x_1+1-m=1$
$\to x_1=-\dfrac{1}{3}$
$\to \left(-\dfrac13\right)^2-2\cdot \left(-\dfrac13\right)+m-1=0$
$\to m-\dfrac29=0$
$\to m=\dfrac29$
