Xét phương trình x² - 2( m + 1 )x + 6m - 4 = 0 ( 1 )
ta có Δ' = ( m + 1 )² - (6m - 4) = m² + 2m + 1 -6m + 4 = m² - 4m + 5
Để (1) có hai nghiệm phân biệt x$x_{1}$, $x_{2}$ thì Δ > 0 ( luôn đúng )
⇔ m ∈ R
Theo hệ thức Viét, ta có
$\left \{ {{x_{1} + x_{2} = 2m + 2} \atop {x_{1}x_{2} = 6m -4}} \right.$
Vì $x_{2}$ là nghiệm của phương trình (1)
⇒ $x_{2}$² - 2(m +1)$x_{2}$ + 6m - 4 = 0
⇔ $x_{2}$² = 2(m + 1)$x_{2}$² - 6m + 4
Khi đó (2m - 2)$x_{1}$ + $x_{2}$² - 4$x_{2}$ = 4
⇔ ( 2m - 2)$x_{1}$ + (2m + 2)$x_{2}$ - 4$x_{2}$ - 6m + 4 = 4
⇔ ( 2m - 2)$x_{1}$ + (2m + 2)$x_{2}$ - 6m = 0
⇔ (2m - 2)($x_{1}$ + $x_{2}$) - 6m = 0 (2)
Mà $x_{1}$ + $x_{2}$ = 2m + 2 nên
( 2 ) ⇔ (2m - 2)(2m + 2) - 6m = 0
⇔ 4(m - 1)(m + 1) - 6m = 0
⇔ 4(m² - 1) - 6m = 0
⇔ 4m² - 6m - 4 = 0
⇔ 2m² - 3m - 2 = 0
⇔ 2m² - 4m + m - 2 = 0
⇔ (2m + 1)(m - 2)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x=2\\m = \frac{-1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy m = 2 hoặc m = $\frac{-1}{2}$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán
