Đáp án + Giải thích các bước giải:
`x^2-2(m+1)x+m^2+2=0`
`a)` `Delta=[-2(m+1)]^2-4.1.(m^2+2)`
`=4(m^2+2m+1)-4m^2-8`
`=4m^2+8m+4-4m^2-8`
`=8m-4`
Để phương trình có 2 nghiệm `x_1;x_2` thì: `Delta\geq0`
`<=>8m-4\geq0`
`<=>m\geq1/2`
Vậy khi `m\geq1/2` thì phương trình có 2 nghiệm `x_1;x_2` với mọi `m`
`b)` Theo phần a, phương trình có 2 nghiệm `x_1;x_2`
+) Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=m^2+2\end{cases}$
Lại có: `x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=15`
`<=>(x_1+x_2)^2+x_1x_2=15`
`=>(2m+2)^2+m^2+2-15=0`
`<=>4m^2+8m+4+m^2+2-15=0`
`<=>5m^2+8m-9=0`
`Delta=8^2-4.5.(-9)=244>0`
`=>\sqrt{Δ}=2\sqrt{61}`
Do đó: `m_1=frac{-8+2\sqrt{61}}{2.5}=frac{-4+\sqrt{61}}{5}` `text{( TMĐK )}`
`m_2=frac{-8-\sqrt{61}}{2.5}=frac{-4-\sqrt{61}}{5}` `text{( KTMĐK )}`
Vậy khi `m=frac{-4+\sqrt{61}}{5}` thì phương trình có 2 nghiệm `x_1;x_2` thoả mãn `x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=15`
