Đáp án: `K_{min}=\frac{9}{4} ⇔ m=\frac{5}{2}`
Giải thích các bước giải:
Ta có: $Δ'=(m-1)^2-1.(m^2-4)=-2m+5$
Để phương trình có nghiệm
`⇔Δ'≥0⇔-2m+5≥0⇔m≤\frac{5}{2}`
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta được:
$\large \left \{ {{x_1x_2=m^2-4} \atop {x_1+x_2=2-2m}} \right.$
Ta có: $K=x_1^2+x_2^2-x_1x_2$
$=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2$
$=(2-2m)^2-3(m^2-4)$
$=m^2-8m+16$
`=(m^2-5m+\frac{25}{4})-(3m-\frac{15}{2})+\frac{9}{4}`
`=(m-\frac{5}{2})^2+3(\frac{5}{2}-m)+\frac{9}{4}`
Do `(m-\frac{5}{2})^2≥0`
`m≤\frac{5}{2} ⇒ \frac{5}{2}-m≥0 ⇒ 3(\frac{5}{2}-m)≥0`
`⇒K=(m-\frac{5}{2})^2+3(\frac{5}{2}-m)+\frac{9}{4}≥\frac{9}{4}`
Dấu bằng xảy ra `⇔m=\frac{5}{2}` (thỏa mãn)
