Giải thích các bước giải:
Ta có:
${x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + {m^2} = 0\left( 1 \right)$
a) Phương trình $(1)$ có nghiệm
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 1.{m^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow 4m + 4 \ge 0\\
\Leftrightarrow m \ge - 1(*)
\end{array}$$
Vậy $m\ge -1$ thỏa mãn.
b) Giả sử phương trình $(1)$ có 2 nghiệm $x_1;x_2$
Khi đó:
Theo ĐL Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m + 2} \right)\\
{x_1}{x_2} = {m^2}
\end{array} \right.$
Để $\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}$ xác định
$ \Leftrightarrow {x_1},{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0(**)$
Lại có:
Để $\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} < 0$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{ - 2\left( {m + 2} \right)}}{{{m^2}}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{m + 2}}{{{m^2}}} > 0\\
\Leftrightarrow m + 2 > 0\\
\Leftrightarrow m > - 2
\end{array}$
Kết hợp với điều kiện $(*),(**)\to m\ge -1;m\ne 0$
Vậy $ m\ge -1;m\ne 0$ thỏa mãn
