Đáp án:
$m \in\{0;3\}$
Giải thích các bước giải:
$\quad x^2 - 2mx + 3m - 3 =0$
Phương trình có nghiệm
$\Leftrightarrow \Delta' \geqslant 0$
$\Leftrightarrow m^2 - (3m- 3) \geqslant 0$
$\Leftrightarrow m^2 - 3m + 3 \geqslant 0$ (luôn đúng)
$\Rightarrow$ Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị $m$
Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2m\\x_1x_2 = 3m -3\end{cases}$
Khi đó:
$\quad A = \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$
$\to A = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$
$\to A = \dfrac{2m}{3m-3}$
$A\in\Bbb Z \Leftrightarrow 2m\ \vdots\ 3m - 3$
Ta có:
$\quad \begin{cases}2m\ \vdots\ 3m -3\\3m - 3\ \vdots\ 3m -3\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}6m\ \vdots\ 3m -3\\6m - 6\ \vdots\ 3m - 3\end{cases}$
$\Leftrightarrow 6m- (6m - 6)\ \vdots\ 3m - 3$
$\Leftrightarrow 6\ \vdots\ 3m - 3$
$\Leftrightarrow 3m - 3 \in Ư(6)$
$+)\quad 3m - 3 = -6$
$\Leftrightarrow 3m =-3$
$\Leftrightarrow m = -1$
Thay vào $A$ ta được: $A = \dfrac{2.(-1)}{3.(-1) - 3} = \dfrac13 \not\in\Bbb Z$ (loại)
$+)\quad 3m - 3 = -3$
$\Leftrightarrow 3m = 0$
$\Leftrightarrow m = 0$
Thay vào $A$ ta được: $A = \dfrac{2.0}{3.0 - 3} = 0 \in \Bbb Z$ (nhận)
$+)\quad 3m - 3 = -2$
$\Leftrightarrow 3m = 1$
$\Leftrightarrow m = \dfrac13\not\in \Bbb Z$ (loại)
$+)\quad 3m - 3 = -1$
$\Leftrightarrow 3m = 2$
$\Leftrightarrow m = \dfrac23\not\in\Bbb Z$ (loại)
$+)\quad 3m - 3 = 1$
$\Leftrightarrow 3m = 4$
$\Leftrightarrow m = \dfrac43\not\in\Bbb Z$ (loại)
$+)\quad 3m - 3= 2$
$\Leftrightarrow 3m = 5$
$\Leftrightarrow m = \dfrac53\not\in\Bbb Z$ (loại)
$+)\quad 3m - 3 = 3$
$\Leftrightarrow 3m = 6$
$\Leftrightarrow m = 2$
Thay vào $A$ ta được: $A = \dfrac{2.2}{3.2 -3} = \dfrac43\not\in\Bbb Z$ (loại)
$+)\quad 3m - 3 = 6$
$\Leftrightarrow 3m = 9$
$\Leftrightarrow m = 3$
Thay vào $A$ ta được: $A = \dfrac{2.3}{3.3 - 3} = 1\in\Bbb Z$ (nhận)
Vậy $m \in\{0;3\}$
