Đáp án:
$m\in\{2;4\}$
Giải thích các bước giải:
$\quad x^2 + 6x + 6m -m^2 = 0\qquad (*)$
Phương trình có hai nghiệm
$\Leftrightarrow \Delta' \geqslant 0$
$\Leftrightarrow 9 - (6m-m^2) \geqslant 0$
$\Leftrightarrow (m-3)^2 \geqslant 0$ (luôn đúng)
$\Rightarrow$ Phương trình luôn có hai nghiệm
$(*)\Leftrightarrow (x+m)(x-m+6)= 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = - m\\x = m -6\end{array}\right.$
$+)\quad TH1: \left[\begin{array}{l}x_1= - m\\x_2 = m -6\end{array}\right.$
Khi đó:
$\quad x_1^3 - x_2^3 + 2x_1^2 + 12x_1 + 72 = 0$
$\Leftrightarrow x_1^3 - x_2^3 + 2(x_1^2 + 6x_1) + 72 = 0$
$\Leftrightarrow (-m)^3 - (m-6)^3 + 2(m^2-6m) + 72 = 0$
$\Leftrightarrow 2m^3 - 20m^2 + 120m - 288 = 0$
$\Leftrightarrow m = 4$
$+)\quad TH2:\left[\begin{array}{l}x_1= m- 6\\x_2 = -m\end{array}\right.$
Khi đó:
$\quad x_1^3 - x_2^3 + 2x_1^2 + 12x_1 + 72 = 0$
$\Leftrightarrow (m-6)^2 - (-m)^3 + 2(m^2 - 6) + 72 = 0$
$\Leftrightarrow 2m^3 - 16m^2 + 96m - 144 = 0$
$\Leftrightarrow m = 2$
Vậy $m \in \{2;4\}$
