Giải thích các bước giải:
Ta có;:
${x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m - 6 = 0\left( 1 \right)$
a) Phương trình $(1)$ có:
$\begin{array}{l}
\Delta = {\left( { - \left( {m + 1} \right)} \right)^2} - 4.1.\left( {2m - 6} \right)\\
= {m^2} - 6m + 25\\
= {\left( {m - 3} \right)^2} + 16 > 0,\forall m
\end{array}$
$ \Rightarrow \left( 1 \right)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$
b) Phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ nên theo ĐL Viet ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m - 1\\
{x_1}{x_2} = 2m - 6
\end{array} \right.$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
A = \dfrac{{2{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{2{x_2}}}{{{x_1}}}\\
= \dfrac{{2x_1^2 + 2x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}}\\
= \dfrac{{2\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\\
= \dfrac{{2\left( {{{\left( {m - 1} \right)}^2} - 2\left( {2m - 6} \right)} \right)}}{{2m - 6}}\\
= \dfrac{{{m^2} - 6m + 13}}{{m - 3}}\\
= \dfrac{{{{\left( {m - 3} \right)}^2} + 4}}{{m - 3}}\\
= m - 3 + \dfrac{4}{{m - 3}}
\end{array}$
Để $A$ nguyên
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow m - 3 + \dfrac{4}{{m - 3}} \in Z\\
\Leftrightarrow \dfrac{4}{{m - 3}} \in Z\left( {Do:m \in Z} \right)\\
\Leftrightarrow m - 3 \in U\left( 4 \right) = \left\{ { - 4; - 1;1;4} \right\}\\
\Leftrightarrow m \in \left\{ {0;2;4;7} \right\}
\end{array}$
Vậy $m \in \left\{ {0;2;4;7} \right\}$ thỏa mãn.
