Đáp án:
`m\in {1;3}`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x^2-(m-3)x-2m+2=0`
`∆=b^2-4ac=[-(m-3)]^2-4.1.(-2m+2)`
`∆=m^2-6m+9+8m-8=m^2+2m+1`
`∆=(m+1)^2\ge 0` với mọi `m`
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm `x_1;x_2` với mọi `m`
`=>x_2^2-(m-3)x_2-2m+2=0`
`=>x_2^2=(m-3)x_2+2m-2`
$\\$
Theo hệ thức Viet ta có:
$\quad \begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=m-3⇒x_1=m-3-x_2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-2m+2\end{cases}$
Ta có:
`\qquad x_2^2-x_1=2`
`<=>(m-3)x_2+2m-2-x_1=2`
`<=>(m-3)x_2+2m-2-(m-3-x_2)=2`
`<=>(m-2)x_2=1-m`
`<=>x_2={1-m}/{m-2}` $(m\ne 2)$
`=>x_1=m-3-x_2=m-3-{1-m}/{m-2}`
`=>x_1={(m-3)(m-2)-(1-m)}/{m-2}={m^2-4m+5}/{m-2}`
$\\$
Vì `x_1.x_2=-2m+2`
`<=>{m^2-4m+5}/{m-2}. {1-m}/{m-2}=2(1-m)` $(m\ne 2)$
`<=>(m^2-4m+5).(1-m)=2(1-m)(m-2)^2`
`<=>(1-m)(2m^2-8m+8-m^2+4m-5)=0`
`<=>(1-m)(m^2-4m+3)=0`
`<=>(1-m)(m-1)(m-3)=0`
`<=>(m-1)^2(3-m)=0`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}(m-1)^2=0\\3-m=0\end{array}\right.$
`<=>`$\left[\begin{array}{l}m=1(T M)\\m=3(T M)\end{array}\right.$
Vậy `m\in {1;3}` thỏa đề bài
