Đáp án:
a) \(m \in \left\{ { - 3;\,\,3} \right\}\)
b) \(m \in \left\{ {\frac{{10}}{9};\,\,10} \right\}.\)
Giải thích các bước giải:
Cho phương trình: \({x^2} - mx + m - 1 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)
Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) \( \Leftrightarrow \Delta > 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall m.\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm với mọi \(m.\)
Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = m - 1\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)
\[a)\,\,\,\,\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 4\]
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{m - \sqrt {{{\left( {m - 2} \right)}^2}} }}{2} = \frac{{m - m + 2}}{2} = 1\\{x_2} = \frac{{m + \sqrt {{{\left( {m - 2} \right)}^2}} }}{2} = \frac{{m + m - 2}}{2} = m\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 4\\ \Leftrightarrow 1 + \left| m \right| = 4\\ \Leftrightarrow \left| m \right| = 3\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = - 3\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy \(m \in \left\{ { - 3;\,\,3} \right\}\) thỏa mãn bài toán.
\(b)\,\,\,{x_1} = 9{x_2}\)
Kết hợp với \(\left( 1 \right)\) ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1} = 9{x_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10{x_2} = m\\{x_1} = 9{x_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \frac{m}{{10}}\\{x_1} = \frac{{9m}}{{10}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow {x_1}{x_2} = m - 1\\ \Leftrightarrow \frac{m}{{10}}.\frac{{9m}}{{10}} = m - 1\\ \Leftrightarrow 9{m^2} = 100m - 100\\ \Leftrightarrow 9{m^2} - 100m + 100 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {9m - 10} \right)\left( {m - 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9m - 10 = 0\\m - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{10}}{9}\\m = 10\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy \(m \in \left\{ {\frac{{10}}{9};\,\,10} \right\}.\)
