Đáp án:
$7 \quad m$
Giải thích các bước giải:
$2\cos^2x + 5\sin x\cos x + 6\sin^2x - m - 1 = 0 \qquad (1)$
+) $\cos x = 0 \Rightarrow \sin^2x = 1$
$\Rightarrow m + 1 = 6$
$\Rightarrow m = 5$
+) $\cos x \ne 0$
Chia hai vế của phương trình cho $\cos^2x$ ta được:
$6\tan^2x + 5\tan x + 2 - (m+1).\dfrac{1}{\cos^2x} = 0$
$\Leftrightarrow 6\tan^2x + 5\tan x + 2 - (m+1)(\tan^2x + 1) = 0$
$\Leftrightarrow (5 - m)\tan^2x + 5\tan x + 1 - m =0 \qquad (*)$
Phương trình $(1)$ có nghiệm $\Leftrightarrow (*)$ có nghiệm
$\Leftrightarrow Delta_{(*)} \geq 0$
$\Leftrightarrow 5^2 - 4(5 - m)(1 - m) \geq 0$
$\Leftrightarrow -4m^2 + 24m +5 \geq 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{6 - \sqrt{41}}{2} \leq m \leq \dfrac{6 + \sqrt{41}}{2}$
Do $m \in \Bbb Z$
nên $m = \left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}$
Vậy có $7$ giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có nghiệm
