Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Cho phương trình \(4{x^2} + \left( {{m^2} + 2m - 15} \right)x + {\left( {m + 1} \right)^2} - 20 = 0,\) với \(m\) là tham số. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn hệ thức: \(x_1^2 + {x_2} + 2019 = 0.\)
Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2} \Leftrightarrow \Delta \ge 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{m^2} + 2m - 15} \right)^2} - 16\left[ {{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 20} \right] \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 16} \right]^2} - 16{\left( {m + 1} \right)^2} + 320 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^4} - 32{\left( {m + 1} \right)^2} + 256 - 16{\left( {m + 1} \right)^2} + 320 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^4} - 48{\left( {m + 1} \right)^2} + 576 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^4} - 2.24{\left( {m + 1} \right)^2} + {24^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 24} \right]^2} \ge 0\,\,\,\,\forall m.\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{{{m^2} + 2m - 15}}{4} = - \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 16}}{4} = - \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4} + 4\\{x_1}{x_2} = \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 20}}{4} = \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4} - 5\end{array} \right..\)
\( \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} = - 1\,\,\,\left( * \right)\)
Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + {x_2} + 2019 = 0 \Leftrightarrow {x_2} = - x_1^2 - 2019\).
Thay vào \(\left( * \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x_1} - x_1^2 - 2019 + {x_1}\left( { - x_1^2 - 2019} \right) = - 1 \Leftrightarrow {x_1} - x_1^2 - 2019 - x_1^3 - 2019{x_1} = - 1\\ \Leftrightarrow x_1^3 + x_1^2 + 2018{x_1} + 2018 = 0 \Leftrightarrow x_1^2\left( {{x_1} + 1} \right) + 2018\left( {{x_1} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {x_1^2 + 2018} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} + 1 = 0\,\,\,\left( {x_1^2 + 2018 > 0\,\,\forall {x_1}} \right)\\ \Leftrightarrow {x_1} = - 1 \Rightarrow {x_2} = - 1 - 2019 = - 2020.\end{array}\)
Mặt khác \({x_1}{x_2} = \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4} - 5\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2020 = \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4} - 5 \Leftrightarrow 2025.4 = {\left( {m + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 8100 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 90\\m + 1 = - 90\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 89\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 91\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m \in \left\{ {89;\,\, - 91} \right\}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Chọn C.
