Đáp án:
a) $m < -\dfrac45$
b) $\begin{cases}m >-\dfrac{4}{5}\\m \ne0\end{cases}$
Giải thích các bước giải:
$x^4 - (3m + 4)x^2 + m^2 =0$
Đặt $t = x^2\qquad (t \geq 0)$
Phương trình trở thành:
$t^2 - (3m+4)t + m^2 =0\qquad (*)$
a) Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow (*)$ vô nghiệm hoặc $(*)$ có `2` nghiệm âm
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\Delta_{(*)} <0\\\begin{cases}\Delta \geq 0\\t_1 + t_2 <0\\t_1t_2 >0\end{cases}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}(3m+4)^2 - 4m^2 <0\\\begin{cases}(3m+4)^2 - 4m^2 \geq 0\\3m +4 <0\\m^2 >0\end{cases}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-4 < m < -\dfrac{4}{5}\\\begin{cases}\left[\begin{array}{l}m\geq -\dfrac45\\m \leq -4\end{array}\right.\\m <-\dfrac43\\m\ne 0\end{cases}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-4 < m < -\dfrac45\\m \leq -4\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow m < -\dfrac45$
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm khi $m < -\dfrac45$
b) Phương trình có `4` nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow (*)$ có `2` nghiệm dương phân biệt
$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta >0\\t_1 + t_2 >0\\t_1t_2 >0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[\begin{array}{l}m >-\dfrac{4}{5}\\m <-4\end{array}\right.\\3m +4 >0\\m^2 >0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[\begin{array}{l}m >-\dfrac{4}{5}\\m <-4\end{array}\right.\\m > -\dfrac{4}{3}\\m \ne0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m >-\dfrac{4}{5}\\m \ne0\end{cases}$
Vậy phương trình đã cho có `4` nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \begin{cases}m >-\dfrac{4}{5}\\m \ne0\end{cases}$
