Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{4^{ - \left| {x - m} \right|}}{\log _{\sqrt 2 }}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {2^{ - {x^2} + 2x}}{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {4^{ - \left| {x - m} \right|}}.2.{\log _2}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) - {2^{ - {x^2} + 2x}}{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {2^{ - 2\left| {x - m} \right| + 1}}.{\log _2}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = {2^{ - {x^2} + 2x}}{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {2^{ - 3}}{.2^{ - 2\left| {x - m} \right| + 1}}.{\log _2}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = {2^{ - 3}}{.2^{ - {x^2} + 2x}}{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {2^{ - 2\left| {x - m} \right| - 2}}.{\log _2}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = {2^{ - {x^2} + 2x - 3}}{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {2^{2\left| {x - m} \right| + 2}}.{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right) = {2^{{x^2} - 2x + 3}}{\log _2}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t}{\log _2}t\) \(\left( {t > 0} \right)\) ta có:
\(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2{\log _2}t + {2^t}\frac{1}{{t\ln 2}} > 0\,\,\forall t > 0\).
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\( \Rightarrow 2\left| {x - m} \right| + 2 = {x^2} - 2x + 3\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2\left( {x - m} \right) + 2 = {x^2} - 2x + 3\,\,\,khi\,\,x \ge m\\2\left( {m - x} \right) + 2 = {x^2} - 2x + 3\,\,\,khi\,\,x < m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 2m + 1 = 0\,\,\,khi\,\,x \ge m\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 2m + 1 = 0\,\,\,khi\,\,x < m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
TH1: Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, phương trình (2) vô nghiệm
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1}' = 4 - 2m - 1 > 0\\{\Delta _2}' = 2m - 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\m < \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}\).
TH2: Phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) có 1 nghiệm, và hai nghiệm này là phân biệt.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1}' = 4 - 2m - 1 = 0\\{\Delta _2}' = 2m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \).
TH3: Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt, phương trình (1) vô nghiệm.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1}' = 4 - 2m - 1 < 0\\{\Delta _2}' = 2m - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{3}{2}\\m > \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}\).
Vậy \(m < \frac{1}{2}\) hoặc \(m > \frac{3}{2}\) .
Chọn C.